当$n\to \mathrm{\infty }$，有$\frac{T(n)-t(n)}{T(n)}\rightarrow0$，称$t(n)$是$T(n)$的渐进性态，为算法的渐进复杂性

数学上，$t(n)$是$T(n)$的渐进表达式，为$T(n)$略去低阶项留下的主项（$n\rightarrow \infty$时，变化最快的项）

例如：$T(n)=4N^2+3N-1$，则$t(n)=4n^2$

$I$：问题的规模为$n$的实例 $p(I)$：实例$I$出现的概率

最坏情况下的时间复杂性

​ $T_{max}(n)=max\{T(I)|size(I)=n\}$

最好情况下的时间复杂性

​ $T_{min}(n)=min\{T(I)|size(I)=n\}$

平均情况下的时间复杂性

​ $T_{avg}(n)=\sum_{size(I)=n}p(I）T（I）$

（1）渐近上界记号$\mathrm{O}$

$\Omicron(g(n))={f(n)|存在正常数c和n_0使得对所有n\geq{n}_0有：0\leq{f(n)}\leq{cg(n)}} $

如：$3N+10=\Omicron(N)$

如：$4N^2+3N-1=\Omicron(N^2)$

$\Omega(g(n))={f(n)|存在正常数c和n_0使得对所有n\geq{n}_0有：0\leq{cg(n))}\leq{f(n)}} $

如：$3N+10=\Omega(1)$

如：$4N^2+3N-1=\Omega(N^2)$

$\omicron(g(n))={f(n)|对于任何正常数c，存在正数n_0使得对所有n\geq{n}_0有：0\leq{f(n)}\leq{cg(n)}} $

等价于当$n\rightarrow\infty$有$\frac{f(n)}{g(n)}\rightarrow0$

如：$4N^2+3N-1=\omicron(N^3)$

$\omega(g(n))={f(n)|对于任何正常数c，存在正数n_0使得对所有n\geq{n}_0有：0\leq{cg(n))}\leq{f(n)}} $

等价于当$n\rightarrow\infty$有$\frac{f(n)}{g(n)}\rightarrow\infty$

如：$4N^2+3N-1=\omega(N)$

$\Theta(g(n))={f(n)|存在正常数c_1、c_2和n_0使得对所有n\geq{n}_0有：c_1g(n)\leq{f(n)}\leq{c_2g(n)}} $

$\Theta(g(n))=\Omicron(g(n))\bigcap\Omega(g(n))$

如：$4N^2+3N-1=\Theta(N^2)$

$f(n)=\mathrm{\Theta }(g(n))\iff f(n)\in \mathrm{\Theta }(g(n))$

一般来说，$\Theta(g(n))$表示$\Theta(g(n))$中的某个函数

如：$4n^2+3n-1=4n^2+\Theta(n)$表示$4n^2+3n-1=4n^2+f(n)$，$f(n)$是$\Theta(n)$中的某个函数

$\Omicron、\omicron、\Omega、\omega$同理

$f(n)=\mathrm{O}(g(n))\approx a\le b$

$f(n)=\Omega(g(n))\approx a\geq b$

$f(n)=\omicron(g(n))\approx a< b$

$f(n)=\omega(g(n))\approx a>b$

$f(n)=\Theta(g(n))\approx a= b$

（1）传递性

$f(n)=\mathrm{\Theta }(g(n)),g(n)=\mathrm{\Theta }(h(n))\Rightarrow f(n)=\mathrm{\Theta }(h(n))$

$f(n)=\Omicron(g(n)),g(n)=\Omicron(h(n))\Rightarrow f(n)=\Omicron(h(n))$

$f(n)=\Omega(g(n)),g(n)=\Omega(h(n))\Rightarrow f(n)=\Omega(h(n))$

$f(n)=\omicron(g(n)),g(n)=\omicron(h(n))\Rightarrow f(n)=\omicron(h(n))$

$f(n)=\omega(g(n)),g(n)=\omega(h(n))\Rightarrow f(n)=\omega(h(n))$

$f(n)=\mathrm{\Theta }(f(n))$

$f(n)=\Omicron(f(n))$

$f(n)=\Omega(f(n))$

$f(n)=\mathrm{\Theta }(g(n))\iff g(n)=\mathrm{\Theta }(f(n))$

$f(n)=\mathrm{O}(g(n))\iff g(n)=\mathrm{\Omega }(f(n))$

$f(n)=\omicron(g(n))\Leftrightarrow g(n)=\omega(f(n))$

$\Omicron(f(n))+\Omicron(g(n))=\Omicron(max\{{f(n),g(n)}\})$

$\Omicron(f(n))+\Omicron(g(n))=\Omicron({f(n)+g(n)})$

$\Omicron(f(n))*\Omicron(g(n))=\Omicron({f(n)*g(n)})$

$\Omicron(cf(n)=\Omicron(f(n))$

$g(n)=\Omicron(f(n))\Rightarrow \Omicron(f(n))+\Omicron(g(n))=\Omicron(f(n))$

9.渐近关系的快速判断

$f(n)=\omicron(g(n))\Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=0(f(n)比g(n)低阶)$

$f(n)=\omega(g(n))\Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=\infty(f(n)比g(n)高阶)$

$f(n)=\Omicron(g(n))\Leftrightarrow \Omicron(g(n))为\Theta(g(n))和\omicron(g(n))中阶数更低的那个$

$f(n)=\Omega(g(n))\Leftrightarrow \Omicron(g(n))为\Theta(g(n))和\omega(g(n))中阶数更高的那个$

求渐近表达式的一般步骤：去除低阶项只保留最高阶项，再去掉最高级项的系数

（1）单调函数

单调递增：$m\le n\Rightarrow f(m)\le f(n)$

单调递减：$m\leq n\Rightarrow f(m)\geq f(n)$

严格单调递增：$m<n\Rightarrow f(m)< f(n)$

严格单调递减：$m<n\Rightarrow f(m)> f(n)$

$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor+\lceil\frac{n}{2}\rceil=n$

对于$n\geq0,a,b>0$，有：

$\lceil\frac{\lceil \frac{n}{a}\rceil}{b}\rceil=\lceil\frac{n}{ab}\rceil$

$\lfloor\frac{\lfloor \frac{n}{a}\rfloor}{b}\rfloor=\lfloor\frac{n}{ab}\rfloor$

$\lceil \frac{a}{b}\rceil\leq \frac{a+(b-1)}{b}$

$\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\geq \frac{a-(b-1)}{b}$

$p(n)=a_0+a_{1}n+a_2{n}^2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_d{n}^d,a_d>0$

$p(n)=\Theta(n^d)$

$f(n)=\Omicron(n^k)\Leftrightarrow f(n)有界$

$f(n)=\Omicron(1)\Leftrightarrow f(n)\leq c$

$k\geq d\Rightarrow p(n)=\Omicron(n^k)$

$k\leq d\Rightarrow p(n)=\Omega(n^k)$

$k>d\Rightarrow p(n)=\omicron(n^k)$

$k<d\Rightarrow p(n)=\omega(n^k)$

$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$

$a^ma^n=a^{m+n}$

$a>1,\quad n^b=\omicron(a^n)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$

$|x|\leq1,\quad 1+x\leq e^x\leq1+x+\Theta(x^2)$

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x}{n})}^n=e^x$

$a>0,b>0, c>0:$

$a = b^{log_b a}$

$log_c(ab)=log_ca+log_cb$

$log_c(\frac{a}{b})=log_ca-log_cb$

$log_b(a^n)=nlog_ba$

$log_b(a)=\frac{log_ca}{log_cb}$

$log_b(a)=\frac{1}{log_ab}$

$a^{log_bc}=c^{log_ba}$

$a>0,\quad log^bn=\omicron(n^a)$

$x>-1,\quad \frac{x}{1+x}\leq ln(1+x)\leq x$

$|x|\leq1, \quad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$

$n!=1\times 2\times \mathrm{3...}\times n$

$n!=\begin{cases} 1,\;\qquad\qquad n=1\\ n(n-1)!,\quad n>1\\ \end{cases}$

$n!=\omicron(n^n)$

$n!=\omega(2^n)$

1.计算时间选择

（1）for/while循环

循环体内计算时间*循环次数

（2）嵌套循环

循环体内计算时间*所有循环次数

（3）顺序语句

各语句计算时间相加

（4）if-else语句

if语句计算时间和else语句计算时间的较大者

2.最优算法

问题的计算时间下界为$\mathrm{\Omega }(f(n))$，则计算时间复杂性为$\Omicron(f(n))$的算法是最优算法

如：排序问题的计算时间下界为$\Omega(nlogn)$，计算时间复杂性为$\Omicron(nlogn)$（堆排序）的排序算法是最优算法

1.P类问题与NP类问题

P、NP、NPC、NP-Hard问题

$P\subseteq NP$

如果一个NP完全问题(NPC)能在多项式时间内得到解决，那么NP中的每一个问题都可以在多项式时间内求解

目前还没有一个NP完全问题(NPC)有多项式时间算法

3.一些典型的NP完全问题

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4.NP完全问题的近似算法

（1）只对问题的特殊实例求解

（2）只求近似解

（3）用动态规划法或分支限界法求解

（4）用概率算法求解

（5）用启发式方法求解

[外链图片转存中…(img-jKHdtrUX-1647060345747)]

$P\subseteq NP$

如果一个NP完全问题(NPC)能在多项式时间内得到解决，那么NP中的每一个问题都可以在多项式时间内求解

目前还没有一个NP完全问题(NPC)有多项式时间算法

3.一些典型的NP完全问题

4.NP完全问题的近似算法

（1）只对问题的特殊实例求解

（2）只求近似解

（3）用动态规划法或分支限界法求解

（4）用概率算法求解

（5）用启发式方法求解