import numpy as np
np.__version__

'1.18.1'

1、理解Python中的数据类型

1.1、Python中的固定类型数组

import array
L = list(range(10))
A = array.array('i', L) # i 是一个数据类型码，表示数据为整数
A

array('i', [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

1.2、从Python列表创建数组

# 整型数组
np.array([1, 4, 2, 5, 3])

array([1, 4, 2, 5, 3])

np.array([3.14, 4, 2, 3])

array([3.14, 4.  , 2.  , 3.  ])

np.array([1, 2, 3 ,4], dtype='float32')

array([1., 2., 3., 4.], dtype=float32)

np.array([range(i, i + 3) for i in [2, 4, 6]])

array([[2, 3, 4],
       [4, 5, 6],
       [6, 7, 8]])

1.3、从头创建数组

# 创建一个长度为10的数组，数组的值为0
np.zeros(10, dtype=int)

array([0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0])

# 创建一个3×5的浮点型数组，数组值都是1
np.ones((3, 5), dtype=float)

array([[1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.]])

# 创建一个3×5的浮点型数组，数组值都是3.14
np.full((3, 5), 3.14)

array([[3.14, 3.14, 3.14, 3.14, 3.14],
       [3.14, 3.14, 3.14, 3.14, 3.14],
       [3.14, 3.14, 3.14, 3.14, 3.14]])

# 创建一个线性序列数组
# 从0开始，到20结束，步长为2
# 和内置range()差不多
np.arange(0, 20, 2)

array([ 0,  2,  4,  6,  8, 10, 12, 14, 16, 18])

# 创建一个5个元素的数组，这5个数均匀的分配到0~1
np.linspace(0, 1, 5)

array([0.  , 0.25, 0.5 , 0.75, 1.  ])

# 创建一个3×3的、在0~1均匀分布的随机数组成的数组
# 只能获取0~1范围随机数，其他范围采用乘法即可
np.random.random((3, 3))

array([[0.4578806 , 0.92203829, 0.05448214],
       [0.78920131, 0.35137756, 0.02365432],
       [0.98200314, 0.96379388, 0.98053799]])

# 创建一个3×3的、均值为0、标准差为1的
# 正态分布的随机数数组
np.random.normal(0, 1, (3, 3))

array([[ 0.40610554,  0.81449554, -0.38442201],
       [ 0.67406335, -0.42994394, -0.25169288],
       [-1.35054767,  0.12160682,  0.47200046]])

# 创建一个3×3的，[0, 10)区间的随机整型数组
np.random.randint(0, 10, (3, 3))

array([[7, 0, 2],
       [1, 2, 3],
       [2, 5, 3]])

# 创建一个3×3的单位矩阵
np.eye(3)

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

# 创建一个由3个整型数组成的未初始化的数组
# 数组值是内存空间中的任意值
np.empty(3)

array([1., 1., 1.])

1.4、NumPy标准数据类型

• NumPy是在C语言的基础上开发的，所以会和C语言类似
• NumPy在创建时可以用一个参数来指定数据类型

np.zeros(10, dtype='int16')

或者

np.zeros(10, dtype=np.int16)

2、NumPy数组基础

• Pandas 也是在 NumPy 基础上构建的
• 将介绍一下几类数组操作：
  • 数组的属性：确定数组的大小、形状、储存大小、数据类型
  • 数组的索引：获取和设置数组各个元素的值
  • 数组的切分：在大的数组中获取或设置更小的子数组
  • 数组的变形：改变给定数组的形状
  • 数组的拼接和分裂：将多个数组合并为一个，以及将一个数组分裂成多个

2.1、NumPy数组的属性

• 为NumPy的随机数生成器设置一组种子值，以确保每次程序执行时都会生成同样的随机数组

import numpy as np
np.random.seed(0) # 设置随机数种子

x1 = np.random.randint(10, size=6) # 一维数组
x2 = np.random.randint(10, size=(3, 4)) # 二维数组
x3 = np.random.randint(10, size=(3, 4, 5)) # 三维数组

每个数组都有 ndim(数组的维度)、shape(数组每个维度的大小)、size(数组的大小)、dtype(数组的数据类型)属性：

print('x3 ndim : ', x3.ndim)
print('x3 shape: ', x3.shape)
print('x3 size : ', x3.size)
print('x3 dtype: ', x3.dtype)

x3 ndim :  3
x3 shape:  (3, 4, 5)
x3 size :  60
x3 dtype:  int64

其他属性还包括代表每个数组元素字节大小的 itemsize，以及代表数组总字节大小的属性 nbytes：

一般来说可以认为 nbytes = itemsize × size

print('itemsize:', x3.itemsize, 'bytes')
print('nbytes  :', x3.nbytes, 'bytes')

itemsize: 8 bytes
nbytes  : 480 bytes

2.2、数组索引：获取单个元素

x1

array([5, 0, 3, 3, 7, 9])

x1[0]

5

x2

array([[3, 5, 2, 4],
       [7, 6, 8, 8],
       [1, 6, 7, 7]])

x2[0][0]

3

x2[0][0] = 12
x2

array([[12,  5,  2,  4],
       [ 7,  6,  8,  8],
       [ 1,  6,  7,  7]])

# 但是如果数据类型不同，会自动截取
x1[0] = 3.1415926
x1

array([3, 0, 3, 3, 7, 9])

2.3、数组切片：获取子数组

x[start:stop:step]

2.3.1、一维子数组

x = np.arange(10)
x

array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

x[:5]

array([0, 1, 2, 3, 4])

x[::2]

array([0, 2, 4, 6, 8])

2.3.2、二维子数组

x2

array([[12,  5,  2,  4],
       [ 7,  6,  8,  8],
       [ 1,  6,  7,  7]])

x2[:2, :3] # 两行，三列

array([[12,  5,  2],
       [ 7,  6,  8]])

x2[:3, ::2] # 三行，每隔一列

array([[12,  2],
       [ 7,  8],
       [ 1,  7]])

x2[::-1, ::-1] # 全部逆序

array([[ 7,  7,  6,  1],
       [ 8,  8,  6,  7],
       [ 4,  2,  5, 12]])

2.3.3、获取数组的行和列

print(x2[:, 0]) # 第一列

[12  7  1]

print(x2[0, :]) # 第一行

[12  5  2  4]

# 处于简便，可以省略
print(x2[0])

[12  5  2  4]

2.3.4、非副本视图的子数组

• 即修改子数组，原数组也跟着改变

print(x2)

[[12  5  2  4]
 [ 7  6  8  8]
 [ 1  6  7  7]]

x2_sub = x2[:2, :2]
x2_sub

array([[12,  5],
       [ 7,  6]])

x2_sub[0, 0] = 99
x2_sub

array([[99,  5],
       [ 7,  6]])

print(x2)

[[99  5  2  4]
 [ 7  6  8  8]
 [ 1  6  7  7]]

2.3.5、创建数组的副本

x2_sub_copy = x2[:2, :2].copy()
print(x2_sub_copy)

[[99  5]
 [ 7  6]]

x2_sub_copy[0, 0] = 42
print(x2_sub_copy)

[[42  5]
 [ 7  6]]

print(x2)

[[99  5  2  4]
 [ 7  6  8  8]
 [ 1  6  7  7]]

2.4、数组的变形

• 最灵活的方式就是使用 reshape() 函数来实现
• 或者使用 newaxis 关键字 获取行向量
• 上面方法都是创建一个 非副本视图

x = np.array([1, 2, 3])
x.reshape((3, 1))

array([[1],
       [2],
       [3]])

print(x)

[1 2 3]

x[:, np.newaxis]

array([[1],
       [2],
       [3]])

print(x)

[1 2 3]

2.5、数组拼接和分裂

2.5.1、数组的拼接

• np.concatenate:：万能
• np.vstack：垂直栈
• np.hstack：水平栈
• np.dstack：沿着第三个维度拼接数据

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([3, 2, 1])
np.concatenate([x, y])

array([1, 2, 3, 3, 2, 1])

z = [99, 99, 99]
print(np.concatenate([x, y, z]))

[ 1  2  3  3  2  1 99 99 99]

• np.concatenate 也可以用于二维数组的拼接

grid = np.array([[1, 2, 3],
                 [4, 5, 6]])

# 沿着第一个轴进行拼接
np.concatenate([grid, grid])

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])

# 沿着第二个轴进行拼接
np.concatenate([grid, grid], axis=1)

array([[1, 2, 3, 1, 2, 3],
       [4, 5, 6, 4, 5, 6]])

• 沿着固定维度处理数组时，使用 np.vstack(垂直栈) 和 np.hstack(水平栈) 函数会更简洁

x = np.array([1, 2, 3])
grid = np.array([[9, 8, 7],
                 [6, 5, 4]])

# 垂直栈数组
np.vstack([x, grid])

array([[1, 2, 3],
       [9, 8, 7],
       [6, 5, 4]])

# 水平栈数组
y = np.array([[99],
              [99]])
np.hstack([grid, y])

array([[ 9,  8,  7, 99],
       [ 6,  5,  4, 99]])

2.5.2、数组的分裂

• np.split
• np.hsplit
• np.vsplit
• np.dsplit

x = [1, 2, 3, 99, 99, 3, 2, 1]
x1, x2, x3 = np.split(x, [3, 5]) # 从 3、5 位拆分成 3个列表
print(x1, x2, x3)

[1 2 3] [99 99] [3 2 1]

grid = np.arange(16).reshape((4, 4))
grid

array([[ 0,  1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11],
       [12, 13, 14, 15]])

upper, lower = np.vsplit(grid, [2])
print(upper)
print(lower)

[[0 1 2 3]
 [4 5 6 7]]
[[ 8  9 10 11]
 [12 13 14 15]]

left, right = np.hsplit(grid, [2])
print(left)
print(right)

[[ 0  1]
 [ 4  5]
 [ 8  9]
 [12 13]]
[[ 2  3]
 [ 6  7]
 [10 11]
 [14 15]]

3、NumPy数组的计算：通用函数

• NumPy数组计算有时非常快，有时也非常慢
  • 使其变快的的关键是利用 向量化 操作，通常在NumPy的 通用函数 中实现
  • 本章将重点讲述 通用函数 的重要性–它可以提高数组元素的 重复计算 的效率

3.1、缓慢的循环

• Python的相对缓慢通常出现在很多小操作需要不断重复的时候，比如对数组的每个元素做循环操作时。假设有一个数组，我们想计算每个元素的倒数
• CPython在每次循环是必须做数据类型的检查和函数调度。每次运行倒数时，python首先检查对象的类型，并且动态查找可以使用该数据类型的正确函数
• 如果我们在编译代码时进行的操作，那么就能在执行代码之前知晓类型的说明，结果的计算也会更加有效率

import numpy as np
np.random.seed(0)

def compute_reciprocals(val):
    output = np.empty(len(val))
    for i in range(len(val)):
        output[i] = 1.0 / val[i]
    return output

val = np.random.randint(1, 10, size=5)
compute_reciprocals(val)

array([0.16666667, 1.        , 0.25      , 0.25      , 0.125     ])

# 在手机都已每秒十亿次浮点计算为单位计算处理速度时，这个计算这样耗时很明显是不正常的
big_array = np.random.randint(1,100, size=1000000)
%timeit compute_reciprocals(big_array)

1.65 s ± 8.67 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

3.2、通用函数介绍

• NumPy有很多类型的操作提供了非常方便的、静态类型的、可编译程序的接口，也被称作 向量 操作
• 比较下面两个执行结果

print(compute_reciprocals(val))
print(1.0 / val)

[0.16666667 1.         0.25       0.25       0.125     ]
[0.16666667 1.         0.25       0.25       0.125     ]

# 可以看到计算结果比Python循环的时间更短
%timeit (1.0 / big_array)

1.11 ms ± 9.69 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

• NumPy中的向量操作是通过 通用函数 实现的。通用函数的主要目的是对NumPy数组中的值执行更快的重复操作。
• 它非常灵活，前面我们看了标量和数组的运算，但是也可以对两个数组进行运算

np.arange(5) / np.arange(1, 6)

array([0.        , 0.5       , 0.66666667, 0.75      , 0.8       ])

x = np.arange(9).reshape((3, 3))
2 ** x

array([[  1,   2,   4],
       [  8,  16,  32],
       [ 64, 128, 256]])

3.3、探索NumPy的通用函数

• 通用函数有两种存在方式：
  • 一元通用函数：对单个输入操作
  • 二元通用函数：对两个输入操作

3.3.1、数组的运算

x = np.arange(4)
print("x      =", x)
print("x + 5  =", x + 5)
print("x - 5  =", x - 5)
print("x * 2  =", x * 2)
print("x / 2  =", x / 2)
print("x // 2 =", x // 2)
print("-x     =", -x)
print("x ** 2 =", x ** 2)
print("x % 2  =", x % 2)

x      = [0 1 2 3]
x + 5  = [5 6 7 8]
x - 5  = [-5 -4 -3 -2]
x * 2  = [0 2 4 6]
x / 2  = [0.  0.5 1.  1.5]
x // 2 = [0 0 1 1]
-x     = [ 0 -1 -2 -3]
x ** 2 = [0 1 4 9]
x % 2  = [0 1 0 1]

-(0.5*x + 1) ** 2

array([-1.  , -2.25, -4.  , -6.25])

np.add(x, 2)

array([2, 3, 4, 5])

NumPy实现的算数运算符

3.3.2、绝对值

x = np.arange(-2, 3)
x

array([-2, -1,  0,  1,  2])

abs(x)

array([2, 1, 0, 1, 2])

np.absolute(x)

array([2, 1, 0, 1, 2])

np.abs(x)

array([2, 1, 0, 1, 2])

# 绝对值返回的是该负数的模
x = np.array([3-4j, 4-3j, 2+0j, 0+1j])
np.abs(x)

array([5., 5., 2., 1.])

3.3.3、三角函数

• 首先定义一个角度的数组

theta = np.linspace(0, np.pi, 3)

print("theta      = ", theta)
print("sin(theta) = ", np.sin(theta))
print("cos(theta) = ", np.cos(theta))
print("tan(theta) = ", np.tan(theta))

theta      =  [0.         1.57079633 3.14159265]
sin(theta) =  [0.0000000e+00 1.0000000e+00 1.2246468e-16]
cos(theta) =  [ 1.000000e+00  6.123234e-17 -1.000000e+00]
tan(theta) =  [ 0.00000000e+00  1.63312394e+16 -1.22464680e-16]

# 逆三角函数
x = [-1, 0, 1]
print("x         = ", x)
print("arcsin(x) = ", np.arcsin(x))
print("arccos(x) = ", np.arccos(x))
print("arctan(x) = ", np.arctan(x))

x         =  [-1, 0, 1]
arcsin(x) =  [-1.57079633  0.          1.57079633]
arccos(x) =  [3.14159265 1.57079633 0.        ]
arctan(x) =  [-0.78539816  0.          0.78539816]

3.3.4、指数和对数

• 当 X 值很小时，np.expm1、np.log1p 给出的值 比 np.log 和 np.exp 的计算更精准

# 指数运算
x = [1, 2, 3]
print("x     =", x)
print("e^x   =", np.exp(x))
print("2^x   =", np.exp2(x))
print("3^x   =", np.power(3, x))

x     = [1, 2, 3]
e^x   = [ 2.71828183  7.3890561  20.08553692]
2^x   = [2. 4. 8.]
3^x   = [ 3  9 27]

# 对数运算
x = [1, 2, 4, 10]
print("x        =", x)
print("ln(x)    =", np.log(x))
print("log2(x)  =", np.log2(x))
print("log10(x) =", np.log10(x))

x        = [1, 2, 4, 10]
ln(x)    = [0.         0.69314718 1.38629436 2.30258509]
log2(x)  = [0.         1.         2.         3.32192809]
log10(x) = [0.         0.30103    0.60205999 1.        ]

# 特殊运算
x = [0, 0.001, 0.01, 0.1]
print("exp(x) - 1 =", np.expm1(x))
print("log(1 + x) =", np.log1p(x))

exp(x) - 1 = [0.         0.0010005  0.01005017 0.10517092]
log(1 + x) = [0.         0.0009995  0.00995033 0.09531018]

3.3.5、专用的通用函数

• 除了上述那些，NumPy还提供了很多通用函数，包括双曲三角函数、比特位运算、比较运算符、弧度转化为角度的运算、取整、取余等等
• 还有一个更加专用，也更加晦涩的通用函数优异来源是子模块scipy.special。

from scipy import special

# Gamma函数（广义阶乘）和相关函数
x = [1, 5, 10]
print("gamma(x)     =", special.gamma(x))
print("ln|gamma(x)| =", special.gammaln(x))
print("beta(x, 2)   =", special.beta(x, 2))

gamma(x)     = [1.0000e+00 2.4000e+01 3.6288e+05]
ln|gamma(x)| = [ 0.          3.17805383 12.80182748]
beta(x, 2)   = [0.5        0.03333333 0.00909091]

# 误差函数（高斯积分）
# 他的实现和它的逆实现
x = np.array([0, 0.3, 0.7, 1.0])
print("erf(x)  =", special.erf(x))
print("erfc(x) =", special.erfc(x))
print("erfinv(x) =", special.erfinv(x))

erf(x)  = [0.         0.32862676 0.67780119 0.84270079]
erfc(x) = [1.         0.67137324 0.32219881 0.15729921]
erfinv(x) = [0.         0.27246271 0.73286908        inf]

3.4、高级的通用函数特性

3.4.1、指定输出

• 在进行大量计算时，有时候指定一个用于存储运放的数组是非常有用的。
• 不同于创建临时数组，你可以用这个特性将计算结果之间写到你期望的存储位置。
• 所有的通用函数都可以通过 Out 参数来指定计算结果的存放位置

x = np.arange(5) # 生成一个有序序列
y = np.empty(5)  # 生成一个无序序列
np.multiply(x, 10, out=y)  # 执行乘法，结果输出给 y
print(y)

[ 0. 10. 20. 30. 40.]

y = np.zeros(10)
np.power(2, x, out=y[::2])
print(y)

[ 1.  0.  2.  0.  4.  0.  8.  0. 16.  0.]

3.4.2、聚合(即 对整个数组的运算)

• 二元通用函数有些非常有趣的聚合功能，这些聚合可以直接在对象上计算。
• 比如，如果我们希望用一个特定的运算 reduce 一个数组，那么可以用任何通用函数的 reduce 方法。
• 一个 reduce 方法会对给定的元素和操作重复执行，直至得到单个结果

注意：在一些特殊的情况中，NumPy提供了专用的函数（np.sum、np.prod、np.cumsum、np.cumprod），他们也可以实现上面 reduce 的功能

例如：对 add 通用函数调用 reduce 方法会返回数组中的所有元素和：

x = np.arange(1, 6)
np.add.reduce(x)

15

np.multiply.reduce(x)

120

# 储存每次计算的结果
np.add.accumulate(x)

array([ 1,  3,  6, 10, 15])

np.multiply.accumulate(x)

array([  1,   2,   6,  24, 120])

3.4.3、外积

• 任何通用函数都可以用 outer 方法获得两个不同输入数组所有元素对的函数运算结果

x = np.arange(1, 6)
np.multiply.outer(x, x)

array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 2,  4,  6,  8, 10],
       [ 3,  6,  9, 12, 15],
       [ 4,  8, 12, 16, 20],
       [ 5, 10, 15, 20, 25]])

4、聚合：最小值、最大值和其他值

4.1、数组值求和

import numpy as np

L = np.random.random(100)

# Python 自带
sum(L)

53.390207567935924

# NumPy 提供的，更快一些
np.sum(L)

53.3902075679359

big_array = np.random.random(1000000)
%timeit sum(big_array)
%timeit np.sum(big_array)

119 ms ± 2.32 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)
311 µs ± 7.16 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

4.2、最小值和最大值

min(big_array), max(big_array)

(2.657882510970211e-06, 0.9999997356284774)

np.min(big_array), np.max(big_array)

(2.657882510970211e-06, 0.9999997356284774)

%timeit min(big_array)
%timeit np.min(big_array)

73 ms ± 510 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)
329 µs ± 5.04 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

print(big_array.min(), big_array.max(), big_array.sum())

2.657882510970211e-06 0.9999997356284774 500652.34777085617

4.2.1、多维度聚合

• 一种常用的聚合操作是沿着一行或一列聚合。例如，假设你有一些数据储存在二维数组中

M = np.random.random((3, 4))
print(M)

[[0.86034037 0.93821946 0.87046115 0.97764813]
 [0.99807947 0.06686359 0.07370805 0.54976723]
 [0.11073139 0.44798236 0.79951814 0.54598933]]

默认情况下，每个NumPy聚合函数将会返回对整个数组的聚合结果：

M.sum()

7.239308667849184

聚合函数还有一个参数，用于指向沿着哪个 轴 的方向进行聚合

M.min(axis=0) # 每一列最小值

array([0.11073139, 0.06686359, 0.07370805, 0.54598933])

M.max(axis=1) # 每一个行最大值

array([0.97764813, 0.99807947, 0.79951814])

4.2.2、其他聚合函数

4.3、示例：美国总统的身高是多少

!head -4 PythonDataScienceHandbook-master/notebooks/data/president_heights.csv

order,name,height(cm)
1,George Washington,189
2,John Adams,170
3,Thomas Jefferson,189

import pandas as pd
data = pd.read_csv('PythonDataScienceHandbook-master/notebooks/data/president_heights.csv')
heights = np.array(data['height(cm)'])
print(heights)

[189 170 189 163 183 171 185 168 173 183 173 173 175 178 183 193 178 173
 174 183 183 168 170 178 182 180 183 178 182 188 175 179 183 193 182 183
 177 185 188 188 182 185]

print("平均身高: ", heights.mean())
print("标准偏差: ", heights.std())
print("最矮身高: ", heights.min())
print("最高身高: ", heights.max())

平均身高:  179.73809523809524
标准偏差:  6.931843442745892
最矮身高:  163
最高身高:  193

print("20%  : ", np.percentile(heights, 25))
print("中位数: ", np.median(heights))
print("75%  : ", np.percentile(heights, 75))

20%  :  174.25
中位数:  182.0
75%  :  183.0

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn;seaborn.set() # 设置绘图风格

plt.hist(heights)
plt.title('Height Distribution of US Presidents')
plt.xlabel('height (cm)')
plt.ylabel('number');

5、数组的计算：广播

• 我们在前一节中介绍了NumPy如何通过通用函数的 向量化 操作来减少缓慢的Python循环
• 另一种向量化嘈做的方法是利用NumPy的广播功能
• 广播 可以简单理解为用于 不同大小数组 的 二元通用函数 的一组规则

5.1、广播的介绍

import numpy as np

a = np.array([0, 1, 2])
b = np.array([5, 5, 5])
a + b

array([5, 6, 7])

a + 5

array([5, 6, 7])

M = np.ones((3, 3))
M

array([[1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.]])

M + a

array([[1., 2., 3.],
       [1., 2., 3.],
       [1., 2., 3.]])

a = np.arange(3)
b = np.arange(3)[:, np.newaxis]

print(a)
print(b)

[0 1 2]
[[0]
 [1]
 [2]]

a + b

array([[0, 1, 2],
       [1, 2, 3],
       [2, 3, 4]])

5.2、广播的规则

• 规则1：如果两个数组的维度数不同，那么小维度数组的形状将会在最左边补 1
• 规则2：如果两个数组的形状在任何一个维度上都不匹配，那么数组的形状会沿着维度为 1 的维度扩展以匹配另一个数组的形状
• 规则3：如果两个数组的形状在任何一个维度都皮配不上并且没有任何一个维度等于 1 ，那么会引发异常

5.2.1、广播示例1

M = np.ones((2, 3))
a = np.arange(3)

print(M)
print(a)

[[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]
[0 1 2]

• 两个数组最初的样子

M.shape = (2, 3)
a.shape = (3, )

• 根据 规则1：数组a的维度数更小，所以在其左边补 1：

M.shape → (2, 3)
a.shape → (1, 3)

• 根据 规则2：第一个维度不匹配，因此沿着这个维度以匹配数组：

M.shape → (2, 3)
a.shape → (2, 3)

M + a

array([[1., 2., 3.],
       [1., 2., 3.]])

5.2.2、广播示例2

a = np.arange(3).reshape((3, 1))
b = np.arange(3)

print(a)
print(b)

[[0]
 [1]
 [2]]
[0 1 2]

• 两个数组最初的样子

a.shape = (3, 1)
b.shape = (3, )

• 根据 规则1：用 1 将 b 的形状补全：

a.shape → (3, 1)
b.shape → (1, 3)

• 根据 规则2：需要更新这两个数组的维度相互匹配：

a.shape → (3, 3)
b.shape → (3, 3)

a + b

array([[0, 1, 2],
       [1, 2, 3],
       [2, 3, 4]])

5.2.3、广播示例3

M = np.ones((3, 2))
a = np.arange(3)

print(M)
print(a)

[[1. 1.]
 [1. 1.]
 [1. 1.]]
[0 1 2]

• 两个数组最初的样子

M.shape = (3, 3)
a.shape = (3, )

• 根据 规则1：数组a的维度数更小，所以在其左边补 1：

M.shape → (3, 2)
a.shape → (1, 3)

• 根据 规则2：第一个维度不匹配，因此沿着这个维度以匹配数组：

M.shape → (3, 2)
a.shape → (3, 3)

• 根据 规则3：最终的形状还是不匹配，因此这两个数组是不兼容的，执行广播会报错

M + a

---------------------------------------------------------------------------

ValueError                                Traceback (most recent call last)

<ipython-input-7-8cac1d547906> in <module>
----> 1 M + a


ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,2) (3,) 

5.3、广播的实际应用

5.3.1、数组的归一化

• 假设有10组数据，每组数据有3个值

X = np.random.random((10, 3))
X

array([[0.57225616, 0.49505128, 0.10433613],
       [0.93963827, 0.47398203, 0.88429714],
       [0.9831127 , 0.19311366, 0.43482586],
       [0.08261148, 0.9079322 , 0.32549832],
       [0.23780892, 0.79475765, 0.06536073],
       [0.73393657, 0.43258879, 0.92306817],
       [0.99624224, 0.30137717, 0.29146581],
       [0.59269839, 0.20688911, 0.89979042],
       [0.33540328, 0.37427399, 0.11429458],
       [0.9528401 , 0.77827771, 0.30405051]])

# 计算均值
Xmean = X.mean(0)
Xmean

array([0.64265481, 0.49582436, 0.43469877])

X_centered = X - Xmean
X_centered

array([[-7.03986458e-02, -7.73076941e-04, -3.30362636e-01],
       [ 2.96983464e-01, -2.18423290e-02,  4.49598370e-01],
       [ 3.40457888e-01, -3.02710701e-01,  1.27092646e-04],
       [-5.60043330e-01,  4.12107836e-01, -1.09200445e-01],
       [-4.04845893e-01,  2.98933289e-01, -3.69338039e-01],
       [ 9.12817608e-02, -6.32355688e-02,  4.88369399e-01],
       [ 3.53587425e-01, -1.94447184e-01, -1.43232955e-01],
       [-4.99564218e-02, -2.88935253e-01,  4.65091652e-01],
       [-3.07251535e-01, -1.21550367e-01, -3.20404184e-01],
       [ 3.10185288e-01,  2.82453355e-01, -1.30648256e-01]])

# 均值应该接近 0，考虑到精度，该均值为 0
X_centered.mean(0)

array([-2.22044605e-17, -4.44089210e-17,  0.00000000e+00])

5.3.2、画一个二维函数

• 广播另外一个非常有用的地方在于，它能基于二维函数显示图像。我们希望定义一个函数 z = F(x, y)，可以用广播沿着数组区间计算该函数

# x、y表示 0~5 区间 50 个步长的序列
x = np.linspace(0, 5, 50)
y = np.linspace(0, 5, 50)[:, np.newaxis]

z = np.sin(x) ** 10 + np.cos(10 + y * x) * np.cos(x)

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt

plt.imshow(z, origin='lower', extent=[0, 5, 0, 5], cmap='viridis')
plt.colorbar()

<matplotlib.colorbar.Colorbar at 0x12287d490>

6、比较、掩码和布尔逻辑

• 这一节将介绍如何用布尔掩码来查看和操作 NumPy 数组中的值。
• 当你想基于某些准则来抽取、修改、计数或对一个数组中的值进行其他操作时，掩码就可以派上用场了。
• 例如你可以希望统计计数组中有多少值大于某个给定值，或者删除所有超出某些门限值的异常点。
• 在 NumPy 中，布尔掩码通常是完成这一类任务的最高效方式

6.1、示例：统计下雨天数

import numpy as np
import pandas as pd

# 利用 pandas 读取数据，放进一个 numpy 数组
rainfall = pd.read_csv('PythonDataScienceHandbook-master/notebooks/data/Seattle2014.csv')['PRCP'].values
rainfall

array([  0,  41,  15,   0,   0,   3, 122,  97,  58,  43, 213,  15,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   5,   0,   0,   0,   0,
         0,  89, 216,   0,  23,  20,   0,   0,   0,   0,   0,   0,  51,
         5, 183, 170,  46,  18,  94, 117, 264, 145, 152,  10,  30,  28,
        25,  61, 130,   3,   0,   0,   0,   5, 191, 107, 165, 467,  30,
         0, 323,  43, 188,   0,   0,   5,  69,  81, 277,   3,   0,   5,
         0,   0,   0,   0,   0,  41,  36,   3, 221, 140,   0,   0,   0,
         0,  25,   0,  46,   0,   0,  46,   0,   0,   0,   0,   0,   0,
         5, 109, 185,   0, 137,   0,  51, 142,  89, 124,   0,  33,  69,
         0,   0,   0,   0,   0, 333, 160,  51,   0,   0, 137,  20,   5,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,  38,
         0,  56,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,  18,  64,   0,   5,  36,  13,   0,
         8,   3,   0,   0,   0,   0,   0,   0,  18,  23,   0,   0,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   3, 193,   0,   0,   0,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   5,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,
         0,   5, 127, 216,   0,  10,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,  84,  13,   0,  30,   0,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   5,
         3,   0,   0,   0,   3, 183, 203,  43,  89,   0,   0,   8,   0,
         0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   3,  74,   0,  76,
        71,  86,   0,  33, 150,   0, 117,  10, 320,  94,  41,  61,  15,
         8, 127,   5, 254, 170,   0,  18, 109,  41,  48,  41,   0,   0,
        51,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,   0,  36, 152,
         5, 119,  13, 183,   3,  33, 343,  36,   0,   0,   0,   0,   8,
        30,  74,   0,  91,  99, 130,  69,   0,   0,   0,   0,   0,  28,
       130,  30, 196,   0,   0, 206,  53,   0,   0,  33,  41,   0,   0,
         0])

inches = rainfall / 254 # 1/10mm 单位换成 英寸
inches.shape

(365,)

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn; seaborn.set() # 设置绘图风格

plt.hist(inches, 40) # 数据均分为40个区间
# 下面显示第一个代表 40 个均分区间的计数，即 y轴 计数
# 第二个代表 40 个区间的 x轴 坐标

(array([245.,  14.,  13.,  17.,   8.,   6.,   5.,   6.,   4.,   3.,   7.,
          6.,   3.,   3.,   3.,   4.,   4.,   2.,   4.,   0.,   0.,   1.,
          1.,   1.,   0.,   0.,   0.,   2.,   1.,   1.,   0.,   0.,   0.,
          0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   1.]),
 array([0.        , 0.04596457, 0.09192913, 0.1378937 , 0.18385827,
        0.22982283, 0.2757874 , 0.32175197, 0.36771654, 0.4136811 ,
        0.45964567, 0.50561024, 0.5515748 , 0.59753937, 0.64350394,
        0.6894685 , 0.73543307, 0.78139764, 0.8273622 , 0.87332677,
        0.91929134, 0.96525591, 1.01122047, 1.05718504, 1.10314961,
        1.14911417, 1.19507874, 1.24104331, 1.28700787, 1.33297244,
        1.37893701, 1.42490157, 1.47086614, 1.51683071, 1.56279528,
        1.60875984, 1.65472441, 1.70068898, 1.74665354, 1.79261811,
        1.83858268]),
 <a list of 40 Patch objects>)

6.2、和通用函数类似的计较操作

• NumPy 除了 基础运算符号，还支持 <、> 等比较符号，返回布尔数据类型的数组

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

x < 3

array([ True,  True, False, False, False])

x > 3

array([False, False, False,  True,  True])

x <= 3

array([ True,  True,  True, False, False])

x >= 3

array([False, False,  True,  True,  True])

x != 3

array([ True,  True, False,  True,  True])

x == 3

array([False, False,  True, False, False])

(2 * x) == (x ** 2)

array([False,  True, False, False, False])

rng = np.random.RandomState(0)
x = rng.randint(10, size=(3, 4))
x

array([[5, 0, 3, 3],
       [7, 9, 3, 5],
       [2, 4, 7, 6]])

x < 6

array([[ True,  True,  True,  True],
       [False, False,  True,  True],
       [ True,  True, False, False]])

6.3、操作布尔数组

print(x)

[[5 0 3 3]
 [7 9 3 5]
 [2 4 7 6]]

6.3.1、统计记录的个数

• 统计布尔数组中 True 的个数，可以使用 np.count_nonzero 函数：

np.count_nonzero(x < 6)

8

我们看到8个数是小于6的。另外一种实现方式是利用 np.sum

• False会被解释成 0
• True会被解释成 1
• 而且还可以沿行或者列进行

np.sum(x < 6)

8

np.sum(x < 6, axis=1)

array([4, 2, 2])

如要快速检查任意或者所有这些值是否为 True，可以用 np.any() 或者 np.all()

# 有没有值大于8
np.any(x > 8)

True

np.any(x < 0)

False

# 是否所有值都小于10
np.all(x < 10)

True

np.all(x == 6)

False

np.all(x < 8, axis=1)

array([ True, False,  True])

6.3.2、布尔运算符

• 逐位逻辑运算符

# 降雨量在 0.5~1.0 英寸之间的天数
np.sum((inches > 0.5) & (inches < 1))

29

• 注意：运算中，括号很重要，代表着运算优先级

如果上面不加括号，就变成下面

inches > (0.5 & inches) < 1

利用 A AND B 和 NOT（NOT A OR NOT B） 的等价原理

np.sum(~( (inches <= 0.5) | (inches >= 1 )))

29

print("Number days without rain      :", np.sum(inches == 0))
print("Number days with rain         :", np.sum(inches != 0))
print("Days with more than 0.5 inches:", np.sum(inches > 0.5))
print("Rainy days with < 0.2 inches  :", np.sum((inches > 0) & (inches < 0.2)))

Number days without rain      : 215
Number days with rain         : 150
Days with more than 0.5 inches: 37
Rainy days with < 0.2 inches  : 75

6.4、将布尔数组作为掩码

print(x)

[[5 0 3 3]
 [7 9 3 5]
 [2 4 7 6]]

x < 5

array([[False,  True,  True,  True],
       [False, False,  True, False],
       [ True,  True, False, False]])

现在为了将这些值从数组中 选出 ，可以进行简单地索引，即 掩码 操作：

x[x < 5]

array([0, 3, 3, 3, 2, 4])

# 为所有下雨天创建一个掩码
rainy = (inches > 0)

# 构建一个包含整个夏季日期的掩码（6月21日是第172天）
days = np.arange(365)
summer = (days > 172) & (days < 262)

print("Median precip on rainy days in 2014 (inches):   ", np.median(inches[rainy]))
print("Median precip on summer days in 2014 (inches):  ", np.median(inches[summer]))
print("Maximum precip on summer days in 2014 (inches): ", np.max(inches[summer]))
print("Median precip on non-summer rainy days (inches):", np.median(inches[rainy & ~summer]))

Median precip on rainy days in 2014 (inches):    0.19488188976377951
Median precip on summer days in 2014 (inches):   0.0
Maximum precip on summer days in 2014 (inches):  0.8503937007874016
Median precip on non-summer rainy days (inches): 0.20078740157480315

7、花哨的索引

7.1、探索花哨的索引

import numpy as np
rand = np.random.RandomState(42)

x = rand.randint(100, size=10)
print(x)

[51 92 14 71 60 20 82 86 74 74]

[x[3], x[7], x[2]]

[71, 86, 14]

ind = [3, 7, 2]
x[ind]

array([71, 86, 14])

利用花哨的索引，结果的形状与 索引数组 的形状一致，而不是与 被索引数组 的形状一致：

ind = np.array([[3, 7],
                [4, 5]])
x[ind]

array([[71, 86],
       [60, 20]])

X = np.arange(12).reshape((3, 4))
X

array([[ 0,  1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11]])

row = np.array([0, 1, 2])
col = np.array([2, 1, 3])
X[row, col]

array([ 2,  5, 11])

X[row[:, np.newaxis], col]

array([[ 2,  1,  3],
       [ 6,  5,  7],
       [10,  9, 11]])

row[:, np.newaxis] * col

array([[0, 0, 0],
       [2, 1, 3],
       [4, 2, 6]])

0:2, 0:1, 0:3  ->  0, 0, 0
1:2, 1:1, 1:3  ->  2, 1, 3
2:2, 2:1, 2:3  ->  4, 2, 6

7.2、组合索引

print(X)

[[ 0  1  2  3]
 [ 4  5  6  7]
 [ 8  9 10 11]]

X[2, [2, 0, 1]]

array([10,  8,  9])

X[1:, [2, 0, 1]]

array([[ 6,  4,  5],
       [10,  8,  9]])

mask = np.array([1, 0, 1, 0], dtype=bool)
X[row[:, np.newaxis], mask]

array([[ 0,  2],
       [ 4,  6],
       [ 8, 10]])

7.3、示例：选择随机点

花哨的索引的一个常见的用途是从一个矩阵中选择行的子集。

• 例如：我们有一个 N * D 的矩阵

mean = [0, 0]
cov = [[1, 2], 
       [2, 5]]
X = rand.multivariate_normal(mean, cov, 100)
X.shape

(100, 2)

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn; seaborn.set()

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1a25ab9e50>

• 然后我们利用花哨的索引随机选取 20 个点————20个随机的，不重复的索引值

indices = np.random.choice(X.shape[0], 20, replace=False)
indices

array([66,  4, 48, 21,  7, 90, 68, 26, 85,  8, 81, 55, 45,  3,  9, 54, 20,
        6, 69, 19])

selection = X[indices]
selection.shape

(20, 2)

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], alpha=0.3)
plt.scatter(selection[:, 0], selection[:, 1], facecolor='none', edgecolors='b', s=200)

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1a264b31d0>

7.4、用花哨的索引修改值

x = np.arange(10)
x

array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

i = np.array([2, 1, 8, 4])
x[i] = 99
x

array([ 0, 99, 99,  3, 99,  5,  6,  7, 99,  9])

• 不过需要注意，操作中重复的索引会导致一些出乎意料的结果产生，例子如下
  • 下面操作首先赋值x[ 0 ] = 4，然后赋值x[ 0 ] = 6，因此x[ 0 ]的值为6

x = np.zeros(10)
x[[0, 0]] = [4, 6]
x

array([6., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])

• 那如果下面操作呢
  • 这里与我们想象的不太一样，我们认为应该是：array([6., 0., 1., 2., 3., 0., 0., 0., 0., 0.])
  • 但是这里并没有发生多次累加，而是赋值，显然不是我们所希望的
  • 那怎样才能实现我们所希望的累加呢？可以使用 at(数组, 索引, 加几) 方法（1.8以后的版本可以使用）
  • 另一个类似的通用方法是 reduceat()

i = [2, 3, 3, 4, 4, 4]
x[i] += 1
x

array([6., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0.])

x = np.zeros(10)
np.add.at(x, i, 1)
x

array([0., 0., 1., 2., 3., 0., 0., 0., 0., 0.])

x = np.zeros(10)
np.add.at(x, i, 2)
x

array([0., 0., 2., 4., 6., 0., 0., 0., 0., 0.])

x = np.zeros(10)
np.add.at(x, i, [1, 1, 1, 1, 1, 1])
x

array([0., 0., 1., 2., 3., 0., 0., 0., 0., 0.])

7.5、示例：数据区间划分

• 你可以用这些方法有效的将数据进行区间划分并手动创建直方图。
• 例如：有100个值，希望快速统计每个区间的数据频次，可以用 ufunc.at 来计算。

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)        # 设置随机基准
x = np.random.randn(100)  # randn函数返回一个或一组样本，具有标准正态分布。

# 手动计算直方图
bins = np.linspace(-5, 5, 20) # -5~5 均分20个区间
counts = np.zeros_like(bins)  # 创建一个和 bind数组 shape一样的 全0数组

# 为每个x找到适合的区间
i = np.searchsorted(bins, x)  # 返回值：x应该插入bind位置的索引

# 统计每个区间上的i
np.add.at(counts, i, 1)

# 画出结果
plt.plot(bins, counts, linestyle='steps')

~/opt/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:19: MatplotlibDeprecationWarning: Passing the drawstyle with the linestyle as a single string is deprecated since Matplotlib 3.1 and support will be removed in 3.3; please pass the drawstyle separately using the drawstyle keyword argument to Line2D or set_drawstyle() method (or ds/set_ds()).

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x116fc2a50>]

• 上面的操作显然是很麻烦的，所以工具提供了更好的方法 plt.hist()

plt.hist(x, bins, histtype='step')

(array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  3.,  7.,  9., 23., 22., 17., 10.,  7.,
         1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.]),
 array([-5.        , -4.47368421, -3.94736842, -3.42105263, -2.89473684,
        -2.36842105, -1.84210526, -1.31578947, -0.78947368, -0.26315789,
         0.26315789,  0.78947368,  1.31578947,  1.84210526,  2.36842105,
         2.89473684,  3.42105263,  3.94736842,  4.47368421,  5.        ]),
 <a list of 1 Patch objects>)

• 比较两个方法的效率
  • 第一个比较：100个参数，我们可以看到，我们自己写的算法要比 NumPy 优化过得快一倍，这是因为优化的算法更适合处理更多的数据，算法更复杂
  • 第二个比较：10000000个参数，这样就可以看出差距，我们的算法直接报错。。。无法运行

print("NumPy routine:")
%timeit counts, edges = np.histogram(x, bins)

print("Custom routine:")
%timeit np.add.at(counts, np.searchsorted(bins, x), 1)

NumPy routine:
21.5 µs ± 241 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
Custom routine:
11.9 µs ± 69.3 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

x = np.random.randn(10000000)
print("NumPy routine:")
%timeit counts, edges = np.histogram(x, bins)

print("Custom routine:")
%timeit np.add.at(counts, np.searchsorted(bins, x), 1)

NumPy routine:
564 ms ± 5.46 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)
Custom routine:



---------------------------------------------------------------------------

IndexError                                Traceback (most recent call last)

<ipython-input-9-b66a4739b105> in <module>
      4 
      5 print("Custom routine:")
----> 6 get_ipython().run_line_magic('timeit', 'np.add.at(counts, np.searchsorted(bins, x), 1)')


~/opt/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/IPython/core/interactiveshell.py in run_line_magic(self, magic_name, line, _stack_depth)
   2315                 kwargs['local_ns'] = sys._getframe(stack_depth).f_locals
   2316             with self.builtin_trap:
-> 2317                 result = fn(*args, **kwargs)
   2318             return result
   2319 


</Users/weiyi/opt/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/decorator.py:decorator-gen-60> in timeit(self, line, cell, local_ns)


~/opt/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/IPython/core/magic.py in <lambda>(f, *a, **k)
    185     # but it's overkill for just that one bit of state.
    186     def magic_deco(arg):
--> 187         call = lambda f, *a, **k: f(*a, **k)
    188 
    189         if callable(arg):


~/opt/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/IPython/core/magics/execution.py in timeit(self, line, cell, local_ns)
   1158             for index in range(0, 10):
   1159                 number = 10 ** index
-> 1160                 time_number = timer.timeit(number)
   1161                 if time_number >= 0.2:
   1162                     break


~/opt/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/IPython/core/magics/execution.py in timeit(self, number)
    167         gc.disable()
    168         try:
--> 169             timing = self.inner(it, self.timer)
    170         finally:
    171             if gcold:


<magic-timeit> in inner(_it, _timer)


IndexError: index 20 is out of bounds for axis 0 with size 20

7.6、数组的排序

• 例：一个简单的 选择排序 重复寻找列表中最小的值，并不断交换直到列表是有序的

import numpy as np

def selection_sort(x):
    for i in range(len(x)):
        swap = i + np.argmin(x[i:])
        (x[i], x[swap]) = (x[swap], x[i])
    return x

x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
selection_sort(x)

array([1, 2, 3, 4, 5])

• 选择排序因为其简洁而非常有用，但是它对于大数组来说就太慢了
• 选择排序平均算法复杂程度为 $\mathcal{O}[N^2]$ 数组元素每翻一倍运行时间会延长4倍

7.6.1、NumPy 中的快速排序：np.sort 和 np.argsort

• np.sort 的排序算法是 快速排序，其算法赋值程度为 $\mathcal{O}[N\log N]$
  • 可以沿着行，或者列排序
• np.argsort 是返回排序的索引值

# 不改变原数组
x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
print(np.sort(x))
print(x)

[1 2 3 4 5]
[2 1 4 3 5]

# 原数组排序
x.sort()
print(x)

[1 2 3 4 5]

x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
i = np.argsort(x)
print(x)
print(i)

[2 1 4 3 5]
[1 0 3 2 4]

x[i]

array([1, 2, 3, 4, 5])

rand = np.random.RandomState(42)
X = rand.randint(0, 10, (4, 6))
print(X)

[[6 3 7 4 6 9]
 [2 6 7 4 3 7]
 [7 2 5 4 1 7]
 [5 1 4 0 9 5]]

# 对 X 的每一列排序
np.sort(X, axis=0)

array([[2, 1, 4, 0, 1, 5],
       [5, 2, 5, 4, 3, 7],
       [6, 3, 7, 4, 6, 7],
       [7, 6, 7, 4, 9, 9]])

# 对 X 的每一行排序
np.sort(X, axis=1)

array([[3, 4, 6, 6, 7, 9],
       [2, 3, 4, 6, 7, 7],
       [1, 2, 4, 5, 7, 7],
       [0, 1, 4, 5, 5, 9]])

7.6.2、部分排序：分隔

• 有的时候我们不需要对整个数组进行排序，仅希望找到数组中第 K 小的值
• NumPy 的 np.partition 函数提供了该方法，输入数组、数字K，输出结果是一个新数组，最左边是第 K 小的值，往右是任意顺序的其他值

x = np.array([7, 2, 3, 1, 6, 5, 4])
np.partition(x, 3)

array([2, 1, 3, 4, 6, 5, 7])

# 多维数组
np.partition(X, 2, axis=1)

array([[3, 4, 6, 7, 6, 9],
       [2, 3, 4, 7, 6, 7],
       [1, 2, 4, 5, 7, 7],
       [0, 1, 4, 5, 9, 5]])

7.6.3、示例：K个临近值

• 以下展示如何利用 argsort 函数沿着多个轴快速找到集合中的每个点的最近邻
• 在二维平面上创建一个有 10个 随机点的集合

X = rand.rand(10, 2)
X

array([[0.00706631, 0.02306243],
       [0.52477466, 0.39986097],
       [0.04666566, 0.97375552],
       [0.23277134, 0.09060643],
       [0.61838601, 0.38246199],
       [0.98323089, 0.46676289],
       [0.85994041, 0.68030754],
       [0.45049925, 0.01326496],
       [0.94220176, 0.56328822],
       [0.3854165 , 0.01596625]])

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn; seaborn.set()

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=100)

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1a22531bd0>

• 现在求每个点距离其他点的距离，坐标差的平方和
  • 公式拆解

dist_sq = np.sum((X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :]) ** 2, axis=-1)
dist_sq

array([[0.        , 0.40999909, 0.90538547, 0.05550496, 0.50287983,
        1.14976739, 1.15936537, 0.19672877, 1.16632222, 0.14319923],
       [0.40999909, 0.        , 0.55794316, 0.18090431, 0.00906581,
        0.21465798, 0.19098635, 0.15497331, 0.20095384, 0.16679585],
       [0.90538547, 0.55794316, 0.        , 0.81458763, 0.67649219,
        1.13419594, 0.74752753, 1.08562368, 0.9704683 , 1.03211241],
       [0.05550496, 0.18090431, 0.81458763, 0.        , 0.23387834,
        0.70468321, 0.74108843, 0.05338715, 0.72671958, 0.0288717 ],
       [0.50287983, 0.00906581, 0.67649219, 0.23387834, 0.        ,
        0.14021843, 0.1470605 , 0.16449241, 0.13755476, 0.18859392],
       [1.14976739, 0.21465798, 1.13419594, 0.70468321, 0.14021843,
        0.        , 0.06080186, 0.48946337, 0.01100053, 0.56059965],
       [1.15936537, 0.19098635, 0.74752753, 0.74108843, 0.1470605 ,
        0.06080186, 0.        , 0.61258786, 0.02046045, 0.66652228],
       [0.19672877, 0.15497331, 1.08562368, 0.05338715, 0.16449241,
        0.48946337, 0.61258786, 0.        , 0.54429694, 0.00424306],
       [1.16632222, 0.20095384, 0.9704683 , 0.72671958, 0.13755476,
        0.01100053, 0.02046045, 0.54429694, 0.        , 0.60957115],
       [0.14319923, 0.16679585, 1.03211241, 0.0288717 , 0.18859392,
        0.56059965, 0.66652228, 0.00424306, 0.60957115, 0.        ]])

dist_sq_2 = np.sum((X[:, np.newaxis] - X[np.newaxis, :]) ** 2, axis=-1)
dist_sq_2

array([[0.        , 0.40999909, 0.90538547, 0.05550496, 0.50287983,
        1.14976739, 1.15936537, 0.19672877, 1.16632222, 0.14319923],
       [0.40999909, 0.        , 0.55794316, 0.18090431, 0.00906581,
        0.21465798, 0.19098635, 0.15497331, 0.20095384, 0.16679585],
       [0.90538547, 0.55794316, 0.        , 0.81458763, 0.67649219,
        1.13419594, 0.74752753, 1.08562368, 0.9704683 , 1.03211241],
       [0.05550496, 0.18090431, 0.81458763, 0.        , 0.23387834,
        0.70468321, 0.74108843, 0.05338715, 0.72671958, 0.0288717 ],
       [0.50287983, 0.00906581, 0.67649219, 0.23387834, 0.        ,
        0.14021843, 0.1470605 , 0.16449241, 0.13755476, 0.18859392],
       [1.14976739, 0.21465798, 1.13419594, 0.70468321, 0.14021843,
        0.        , 0.06080186, 0.48946337, 0.01100053, 0.56059965],
       [1.15936537, 0.19098635, 0.74752753, 0.74108843, 0.1470605 ,
        0.06080186, 0.        , 0.61258786, 0.02046045, 0.66652228],
       [0.19672877, 0.15497331, 1.08562368, 0.05338715, 0.16449241,
        0.48946337, 0.61258786, 0.        , 0.54429694, 0.00424306],
       [1.16632222, 0.20095384, 0.9704683 , 0.72671958, 0.13755476,
        0.01100053, 0.02046045, 0.54429694, 0.        , 0.60957115],
       [0.14319923, 0.16679585, 1.03211241, 0.0288717 , 0.18859392,
        0.56059965, 0.66652228, 0.00424306, 0.60957115, 0.        ]])

print(dist_sq.shape)
print(dist_sq_2.shape)

(10, 10)
(10, 10)

X[:, np.newaxis, :]

array([[[0.00706631, 0.02306243]],
       [[0.52477466, 0.39986097]],
       [[0.04666566, 0.97375552]],
       [[0.23277134, 0.09060643]],
       [[0.61838601, 0.38246199]],
       [[0.98323089, 0.46676289]],
       [[0.85994041, 0.68030754]],
       [[0.45049925, 0.01326496]],
       [[0.94220176, 0.56328822]],
       [[0.3854165 , 0.01596625]]])

X[np.newaxis, :, :]

array([[[0.00706631, 0.02306243],
        [0.52477466, 0.39986097],
        [0.04666566, 0.97375552],
        [0.23277134, 0.09060643],
        [0.61838601, 0.38246199],
        [0.98323089, 0.46676289],
        [0.85994041, 0.68030754],
        [0.45049925, 0.01326496],
        [0.94220176, 0.56328822],
        [0.3854165 , 0.01596625]]])

X[:, np.newaxis, :].shape

(10, 1, 2)

X[np.newaxis, :, :].shape

(1, 10, 2)

X[:, np.newaxis]

array([[[0.00706631, 0.02306243]],
       [[0.52477466, 0.39986097]],
       [[0.04666566, 0.97375552]],
       [[0.23277134, 0.09060643]],
       [[0.61838601, 0.38246199]],
       [[0.98323089, 0.46676289]],
       [[0.85994041, 0.68030754]],
       [[0.45049925, 0.01326496]],
       [[0.94220176, 0.56328822]],
       [[0.3854165 , 0.01596625]]])

X[np.newaxis, :]

array([[[0.00706631, 0.02306243],
        [0.52477466, 0.39986097],
        [0.04666566, 0.97375552],
        [0.23277134, 0.09060643],
        [0.61838601, 0.38246199],
        [0.98323089, 0.46676289],
        [0.85994041, 0.68030754],
        [0.45049925, 0.01326496],
        [0.94220176, 0.56328822],
        [0.3854165 , 0.01596625]]])

X[:, np.newaxis].shape

(10, 1, 2)

X[np.newaxis, :].shape

(1, 10, 2)

• 两点之间的矩阵已经计算好了，接下来进行排序，找出最近邻
  • 需要注意的是，第一列是按照 0~9 排序的。这是因为每个点的最近邻都是自己本身
  • 但是其实我们并不用全部排序，我们只要获取除自身外的最近邻 k，那么 K = 1 + k

nearest = np.argsort(dist_sq, axis=1)
nearest

array([[0, 3, 9, 7, 1, 4, 2, 5, 6, 8],
       [1, 4, 7, 9, 3, 6, 8, 5, 0, 2],
       [2, 1, 4, 6, 3, 0, 8, 9, 7, 5],
       [3, 9, 7, 0, 1, 4, 5, 8, 6, 2],
       [4, 1, 8, 5, 6, 7, 9, 3, 0, 2],
       [5, 8, 6, 4, 1, 7, 9, 3, 2, 0],
       [6, 8, 5, 4, 1, 7, 9, 3, 2, 0],
       [7, 9, 3, 1, 4, 0, 5, 8, 6, 2],
       [8, 5, 6, 4, 1, 7, 9, 3, 2, 0],
       [9, 7, 3, 0, 1, 4, 5, 8, 6, 2]])

k = 2
nearest_partition = np.argpartition(dist_sq, k + 1, axis=1)
nearest_partition

array([[3, 0, 9, 7, 1, 4, 2, 5, 8, 6],
       [1, 4, 7, 9, 3, 5, 6, 2, 8, 0],
       [2, 1, 4, 6, 3, 0, 5, 7, 8, 9],
       [3, 9, 7, 0, 1, 5, 6, 2, 8, 4],
       [1, 8, 4, 5, 7, 6, 9, 3, 2, 0],
       [5, 8, 6, 4, 1, 7, 9, 3, 2, 0],
       [6, 8, 5, 4, 1, 7, 9, 3, 2, 0],
       [7, 9, 3, 1, 4, 5, 6, 2, 8, 0],
       [8, 5, 6, 4, 1, 7, 9, 3, 2, 0],
       [3, 9, 7, 0, 1, 5, 6, 2, 8, 4]])

• 最近邻已经找到了，接下来为了将邻近点网络可视化，我们将每个点和其最近的两个点连接

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=100)

# 连接两个最近邻连接
k = 2

for i in range(X.shape[0]):
    for j in nearest_partition[i, :k+1]:
        # 画一条从 x[i]到x[j] 的线段
        # 用 zip 方法实现
        plt.plot(*zip(X[j], X[i]), color='black')

8、结构化数据：NumPy 的结构化数组

• 大多时候，我们的数据可以通过一个异构类型值组成的数组表示，但有的时候并非如此
• 本节介绍 NumPy 的 结构化数组 和 记录数组，它们是复合的，异构的数据提供了非常有效的储存。
• 例：有一些人的分类数据（如姓名，年龄，体重），需要储存
  • 有一个笨方法就是 分别储存，但是没有信息告诉我们他们之间的关联
  • 那么可以使用一种复合数据类型

import numpy as np

name = ['Alice', 'Bob', 'Cathy', 'Doug']
age = [25, 45, 37, 19]
weight = [55.0, 85.5, 68.0, 61.5]

# 与之类似的创建方法
x = np.zeros(4, dtype=int)

data = np.zeros(4, dtype={'names': ('name', 'age', 'weight'),
                          'formats': ('U10', 'i4', 'f8')})
data.dtype

dtype([('name', '<U10'), ('age', '<i4'), ('weight', '<f8')])

• U10：长度不超过10的Unicode字符串

• i4：4字节（即32比特）整型

• f8：8字节（即64比特）浮点型

• 后面会介绍更多数据类型代码

• 现在把数据放进数组容器中

data['name'] = name
data['age'] = age
data['weight'] = weight
print(data)

[('Alice', 25, 55. ) ('Bob', 45, 85.5) ('Cathy', 37, 68. )
 ('Doug', 19, 61.5)]

# 取出名字
data['name']

array(['Alice', 'Bob', 'Cathy', 'Doug'], dtype='<U10')

# 取出第一行数据
data[0]

('Alice', 25, 55.)

# 取出最后一个名字
data[-1]['name']

'Doug'

data['name'][-1]

'Doug'

# 通过掩码操作
# 取出年龄小于30岁的名字
data['name'][data['age'] < 30]

array(['Alice', 'Doug'], dtype='<U10')

data[data['age'] < 30]['name']

array(['Alice', 'Doug'], dtype='<U10')

8.1、生成结构化数组

• 结构化数组的数据类型有多种制定方式

np.dtype({'names': ('name', 'age', 'weight'),
          'formats': ('U10', 'i4', 'f8')})

dtype([('name', '<U10'), ('age', '<i4'), ('weight', '<f8')])

np.dtype({'names': ('name', 'age', 'weight'),
          'formats': ((np.str_, 10), int, np.float32)})

dtype([('name', '<U10'), ('age', '<i8'), ('weight', '<f4')])

np.dtype([('name', 'S10'), ('age', 'i4'), ('weight', 'f8')])

dtype([('name', 'S10'), ('age', '<i4'), ('weight', '<f8')])

• 如果名词不重要，也可以省略

np.dtype('S10,i4,f8')

dtype([('f0', 'S10'), ('f1', '<i4'), ('f2', '<f8')])

8.2、更高级的复合类型

• 例如，你可以创建一种类型，其中每个元素都包含一个数组或矩阵
• 我们会创建一个数据类型，该数据类型用 mat组件 包含一个 3×3 的浮点矩阵

tp = np.dtype([('id', 'i8'), ('mat', 'f8', (3, 3))])
X = np.zeros(1, dtype=tp)
print(X[0])
print(X['mat'][0])

(0, [[0., 0., 0.], [0., 0., 0.], [0., 0., 0.]])
[[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]

8.3、记录数组：结构化数组的扭转

• NumPy 还提供了 np.recarray 类
• 它和前面介绍的结构化数据几乎相同，但是它有一个独特的特征：
  • 域 可以像属性一样获取，而不是像字典的键那样获取

data['age']

array([25, 45, 37, 19], dtype=int32)

• 如果将这些数据当做一个记录数组，我们可以用很少的按键来获取这个结果

data_rec = data.view(np.recarray)
data_rec.age

array([25, 45, 37, 19], dtype=int32)

• 记录数组的不好地方在于，即使使用相同的语法，在获取域时也会有一些额外的开销
  • 根据用途选择更好的

%timeit data['age']
%timeit data_rec['age']
%timeit data_rec.age

114 ns ± 0.333 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000000 loops each)
1.96 µs ± 6.36 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000000 loops each)
2.37 µs ± 9.44 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)