PageRank 顶点Rank值总和收敛讨论

Pagerank算法在迭代过程中顶点Rank值的总和是可以收敛到等于顶点数的，这一性质与Pagerank算法每个顶点的rank初值无关。证明如下

假设$d_i$为第i轮的rank值总和，可得
$d_2$ = $d_1\ast 0.8+0.2\ast n;$
$d_3$ = $d_2\ast 0.8+0.2\ast n;$
$d_4$ = $d_3\ast 0.8+0.2\ast n;$
…
$d_n$ = $d_{n-1}\ast 0.8+0.2\ast n;$

将$d_2$代入$d_3$可得

$d_3$ = $(d_1\ast 0.8+0.2\ast n)\ast 0.8+0.2\ast n$

将$d_3$代入$d_4$可得

$d_4$ = $((d_1\ast 0.8+0.2\ast n)\ast 0.8+0.2\ast n)\ast 0.8+0.2\ast n$

展开得

$d_4$ = $d_1\ast 0.8^3+0.2\ast n\ast (1+0.8+0.8^2)$

进而递推得

$d_n$ = $d_{n-1}\ast 0.8^{n-1}+0.2\ast n\ast (1+0.8+0.8^2...+0.8^{n-2})$

$1+0.8+0.8^2...+0.8^{n-2}$为等比数列 ，求和为$(1-0.8^{n-2})/0.2$

带入后可得原式

$d_n$ = $d_{n-1}\ast 0.8^{n-1}+n\ast (1-0.8^{n-2})$

对于上式，当n等于40附近，$0.8^{n-1},0.8^{n-2}$ 均接近0.0001，原式可近似为

$d_n$ = $ n $，其中n为图数据顶点数