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浅谈数值稳定性


今天谈论的重点是数值稳定性,在计算机编程中,有很多算法都需要考虑数值稳定性。比如在机器学习算法中我学过的Logistic回归的牛顿迭代解法,在牛顿迭代时需要解线性方程组,由于Hessian矩阵是对称正定的,用Cholesky矩阵分解不但可以大大减少运算量,而且还具有很好的数值稳定性。借此机会来更多地了解一下数值稳定性。


在计算机编程中,有时候同一个计算问题,不同算法中舍入误差对计算的结果产生的影响各不相同,舍入误差对计算结果的精确度影响小的算法,具有较好的数值稳定性;反之,算法的数值稳定性差。所设计的算法的舍入误差在一定条件下要能够控制。否则就像蝴蝶效应一样,使风和日丽的美洲几个月后出现狂风暴雨。


接下来我们先来看一个比较经典的例子。


题目:计算如下积分的值


    

浅谈数值稳定性_计算机编程


分析:很容易,可以进行如下推导过程


    

浅谈数值稳定性_舍入误差_02


根据这个递推式,可以计算任意的

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_03

,但是我们再计算一下放大的误差,得到


      

浅谈数值稳定性_舍入误差_04


可以看出误差是逐渐放大的,在一定范围内无法控制,这样做的结果就是最终答案与真实答案相差十万八千里。


为了提高数值的稳定性,我们在设计算法时需要遵循如下几个原则


(1)尽量减少运算次数

(2)加法运算时,避免大数加小数

(3)避免两个相近数相减

(4)避免小数做除数或大数做乘数


(1)尽量减少运算次数

 

   比如计算多项式的秦九韶算法,再比如下例


    题目:计算

浅谈数值稳定性_计算机编程_05

的值,要求精确到

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_06



    分析:用两种方法进行比较,以此说明运算次数的重要性。首先采用如下公式计算


        

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_07


         即得到


        

浅谈数值稳定性_舍入误差_08


         要精确到

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_09

,就要计算100000项,而且还有精度损失,此方法效率太低。再考虑另一种方法


        

浅谈数值稳定性_计算机编程_10


         这样的话取

浅谈数值稳定性_舍入误差_11

,得到


        

浅谈数值稳定性_计算机编程_12


         要精确到

浅谈数值稳定性_计算机编程_13

,只需要计算前4项就行了,因为


         

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_14


         可以看出第二种方式大大减少了计算量,精度相应也会损失很少。



(2)加法运算时,避免大数加小数

 

      针对浮点数来说,由于有效数字的保留问题,大数会“吃掉”小数。

 

 

(3)避免两个相近数相减

 

    比如在二次方程求根问题中,解

浅谈数值稳定性_舍入误差_15

,如果

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_16

并且

浅谈数值稳定性_计算机编程_17

接近

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_18

,这样求出


    

浅谈数值稳定性_牛顿迭代_19


    其中有两个相近的数相减,这会导致误差增大,但是考虑另一种方法,先计算出


    

浅谈数值稳定性_舍入误差_20


    然后再根据


   

浅谈数值稳定性_舍入误差_21


    计算得到

浅谈数值稳定性_舍入误差_22

,这样做误差大大降低。



(4)避免小数做除数或大数做乘数

 

    高斯消元中,选主元与不选主元计算得到的结果有差异,因为如果不选主元可能遇到小数做除数的情况。从

    而导致结果出现偏差。



 


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