图通常用来表示和存储具有“多对多”关系的数据，是数据结构中非常重要的一种结构。
6.1 图的定义与表示
图G可以理解为由集合 V 和 E 组成，记成G=(V, E)；
V是节点的有限非空集合,E是节点的二元组集合，节点二元组称为边。V(G)和E(G)分别称为图G的节点集（顶点集）与边集，也可用G=(V,E)表示图。
图（graph），它表明了物件与物件之间的“多对多”的一种复杂关系。图包含了两个基本元素：顶点（vertex, 简称V）和边（edge,简称E）。
图中的圆圈叫作“顶点”(Vertex，也叫“结点”)，连接顶点的线叫作“边”（Edge）；由顶点和连接每对顶点的边所构成的图形就是图。
无向图中描述两顶点（A 和 B）之间的关系可以用 (A,B) 来表示，而有向图中描述从 V1 到 V2 的"单向"关系用<A,B> 来表示。
6.2 图的分类
- 有向图 VS. 无向图：边有无方向
- 完全图 VS. 非完全图：每个顶点和其他顶点是否有直接的路径（有向图中指的是有无双向的直接路径）相连。
- 带权图：某些实际场景中，
图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网。
- 连通图 vs. 非连通图
图中从一个顶点到达另一顶点，若存在至少一条路径，则称这两个顶点是连通着的；这样的图中没有独立的顶点或者子图；被称为连通图。否则被称为非连通图。
- 连通图 VS. 强连通图
连通图一定是无向图，而强连通图一定是有向图。
- 连通图是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在路径相连，不存在孤立的顶点。由于无向图中的边没有方向性，所以连通图不涉及边的方向。
- 强连通图是指在有向图中，任意两个顶点之间都存在有向路径相连，不存在孤立的顶点。由于有向图中的边有方向性，所以强连通图要求路径是有向的。
也就是可以总结出：强连通图中每个顶点都必须至少有1个入度和1个出度；否则，肯定不会是强连通图。
6.3 图的表示（集合）
()表示无向边；<>表示有向边。
6.4 图的常用术语
- 邻接 若（V1，V2）是E(G)中的一条边，则称顶点V1和V2是相邻接（Adjacent）的顶点，称边（V1，V2）是依附于顶点V1和V2的边；
- 路径 顶点Vi到顶点Vj之间的连线称为路径（Path）；
- 简单路径 在一条路径中，如果除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点各不相同，则称这样的路径为简单路径；
- 回路（环） 若一条路径的起点和终点相同（即Vi=Vj），则称此路径为回路或者环；
- 简单回路（简单环） 在一个图的序列中除过第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路或者简单环；
- 顶点的度 顶点的度是指依附于某顶点Vi的边数，通常记为TD(Vi)； 顶点的入度（InDegree）是指以Vi为终点的弧的而数目，记为ID(Vi)； 顶点的出度（OutDegree）是指以Vi为始点的弧的数目，记为OD(Vi)； 于是有：TD(Vi) = ID(Vi)+OD(Vi)
- 联通 若从顶点Vi到顶点Vj（ i ≠ j ）有路径，则Vi和Vj是联通的；
- 连通图 在无向图中，任意两个顶点Vi和Vj都是联通的则称这样的无向图为连通图；
- 强连通图 在有向图中，任意一对顶点Vi和Vj（ i ≠ j ）均有从Vi到Vj和从Vj到Vi的有向路径，则称为强连通图。
6.5 图的存储
常用的存储方式有两种：邻接矩阵和邻接表。
6.5.1 邻接矩阵
定义：设G=(V, E)是n个顶点的图，则G的邻接矩阵为下列n阶方阵：
无向图：
有向图：
带权图（网）的邻接矩阵：
总结：对于查找某一条边是否存在、权重多少非常快。但其比较浪费空间，对稠密图（ E>>V ）来说。
6.5.2 邻接表
图的邻接表存储结构是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结构。它包括两个部分：一部分是数组，另一部分是链表，数组用来每条单链表的表头，有数组的特性可知定位每条单链表的时间都是O(1)。
也有的教材说：邻接表（Adjacency List）是图的一种链式存储结构。
邻接表存储图的核心思想是：将图中的所有顶点存储到顺序表中（也可以是链表），同时为各个顶点配备一个单链表，用来存储和当前顶点有直接关联的边或者弧（边的一端是该顶点或者弧的弧尾是该顶点）。
有向图和无向图的存储
用邻接表存储有向图（网），可以快速计算出某个顶点的出度，但计算入度的效率不高。反之，用逆邻接表存储有向图（网），可以快速计算出某个顶点的入度，但计算出度的效率不高。
那么有没有一种存储结构，可以快速计算出有向图（网）中某个顶点的入度和出度呢？答案是肯定的，十字链表就是这样的一种存储结构。
十字链表（Orthogonal List）是一种专门存储有向图（网）的结构，它的核心思想是：将图中的所有顶点存储到顺序表（也可以是链表）中，同时为每个顶点配备两个链表，一个链表记录以当前顶点为弧头的弧，另一个链表记录以当前顶点为弧尾的弧。
带权图的存储
6.6 图的遍历
图的遍历： 从图G中某一顶点v出发，顺序访问各顶点一次。 技巧： 为克服顶点的重复访问，设立辅助数组visited[n]。 visited[i]: 1：顶点i已被访问过 0：顶点i未被访问过
（连通图）遍历方法： 深度优先遍历法 - 类似于树的先序遍历 广度优先遍历法 - 类似于树的层次遍历
6.6.1 深度优先遍历法（DFS）
- 从图G(V, E)中任一顶点Vi开始，首先访问Vi，
- 然后访问Vi的任一未访问过的邻接点Vj，
- 再以Vj为新的出发点继续进行深度优先搜索（递归；需要在算法中使用到栈），直到所有顶点都被访问过。
为克服顶点的重复访问，设立一标志向量visited[n];
图的深度优先搜索遍历的复杂度：
邻接表 | 时间复杂度是O(n+e)，其中n为图的顶点数，e为图的边数 |
邻接矩阵 | 时间复杂度是O(n2)，其中，n为图的顶点数 |
6.6.2 广度优先遍历法（BFS）
- 从图G(V, E)中某一点Vi出发，
- 首先访问Vi的所有邻接点(w1, w2, …, wt)，
- 然后再顺序访问w1，w2，…,wt的所有未被访问过的邻接点…，此过程直到所有顶点都被访问过。
为克服顶点的重复访问，设立一标志向量visited[n]; 顶点的处理次序–先进先出，故需用到一队列。
算法描述：
1.所有结点标记置为『未被访问』标志； 2.访问起始顶点，同时置起始顶点『已访问』标记； 3.将起始顶点进队列 4.当队列不为空时重复执行以下步骤：
- 取当前队头顶点
- 对与队头顶点相邻接的所有未被访问过的顶点依次做； (a)访问该顶点 (b)置该顶点为『已访问』标记，并将它进队列；
- 当前队头元素顶点出队
- 重复进行，直到队空时结束
6.7 生成树与最小生成树
生成树
含有该连通图的全部顶点的一个极小连通子图。
若连通图G的顶点个数为n，则G的生成树的边数为n-1。
G的子图G0边数大于n-1，则G0中一定有环路。
G的子图G0边数小于n-1，则G0中一定不连通。
最小生成树
给定一个带权图，构造带权图的一颗生成树，使得树中所有边的权值总和最小。
对于给定的连通网，求最小生成树常用的算法有两个，分别叫做：
- 普里姆（Prim）算法
- 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
Prim算法
适合于求边稠密的带权图的最小生成树。
假设G=(V,E)是一个无向带权图，生成的最小生成树为MinX=(V,T),其中V为顶点的集合，T为边的集合。
分析过程：
1.最小生成树MinX的顶点即V应该等于图G的顶点集V(G)。
2.再开始计算前要确定入口顶点，我们这里使用A作为入口。（实际上任意顶点均可）
3.定义两个空的集合U={};T={};它们分别存放最小生成树的顶点集和边集。再定义一个存放图中所有顶点的集合V = {A,B,C,D,E}
求解过程：
1.从V中取任一顶点假设是A出发；将A放入顶点集U；U={A}
2.选出顶点A到达集合B的所有边中权值最小的边【AB:5; AC:3; AD:8】；我们这里是(A,C)最小；将该边放入集合T；T={(A,C)}。同时将顶点C放入顶点集U;U={A,C}。去除V中的C；V={B,D,E}
若V≠∅则继续；否则，终止。
3.[重复1、2]找出集合U={A,C}到集合V={BDE}的全部被边【AB,AD,CB,CD】中权值最小的边(CB),将其放入集合T;T={(AC),(CB)}。同时将顶点B放入顶点集U;U={A,C,B}。去除V中的B；V={D,E}
4.[重复1、2]找出集合U={A,C,B}到 集合V={D,E}的全部变【AB,CD,BE】中权值最小的边(CD),将其放入集合T;T={(AC),(CB),(CD)}。同时将顶点D放入顶点集U;U={A,C,B,D}。去除V中的D；V={E}。
5.[重复1、2]找出集合U={A,C,B,D}到 集合V={E}的全部变【BE】中权值最小的边(BE),将其放入集合T;T={(AC),(CB),(CD),(BE)}。同时将顶点E放入顶点集U;U={A,C,B,D,E}。去除V中的D；V={}。此时V=∅；算法终止。
算法图解：
易错点：每次选最小权值时以某一个顶点为中心选取时不对的；而是应该以已经确认的所有结点为中心进行选取。
Kruskal克鲁斯卡尔算法
适合于求边稀疏的带权图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法查找最小生成树的方法是：将连通网中所有的边按照权值大小做升序排序，从权值最小的边开始选择，只要此边不和已选择的边一起构成环路，就可以选择它组成最小生成树。对于 N 个顶点的连通网，挑选出 N-1 条符合条件的边，这些边组成的生成树就是最小生成树。
基本思想： 1.设G=(V, E)，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V, {}),每个顶点自成一个连通分量； 2.在E中选取权值最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则，舍去此边，选取下一条权值最小的边； 3.以此类推，重复2，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
原则： 按权值递增次序构造Tmin； 即每次选权最小且不构成回路的边，直至n-1条。
克鲁斯卡尔算法的难点：在于“如何判断一个新边是否会和已选择的边构成环路”
算法图解：
解决判定是否形成环路的办法：
上图【1】中将所有顶点添加标签(比如说0)；
上图【2】中两个顶点的标签都是初始值0；则将已选择的边(B,C)的两个顶点标签修改为：1;
上图【3】中新选取的边(C,D)的两个顶点C标签是1，而D的标签是初始值0；他们不相同，则肯定不会形成回路；并将D的标签修改为1；
上图【4】中新选取的边(A,B)的两个顶点B标签是1，而A的标签是初始值0；他们不相同，则肯定不会形成回路；并将A的标签修改为1；
上图【5】中新选取的边(A,C)的两个顶点的标签相同都是1且不是默认值，则肯定会形成回路；放弃该边；顶点的标签保持不变；
上图【4】中新选取的边(B,E)的两个顶点B标签是1，而E的标签是初始值0；他们不相同，则肯定不会形成回路；并将E的标签修改为1；
若出现新选取的边的两个顶点的标签相同都是默认值；那么应该为这样的顶点分配新的标签（不能和之前分配的标签相同）。
最短路径的算法
最短路径不仅适用于无向加权图，也适用于有向加权图
Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）-要掌握
特点：较快，不允许负数权值。
迪杰斯特拉算法用于查找图中某个顶点到其它所有顶点的最短路径，该算法既适用于无向加权图，也适用于有向加权图。
Dijkstra松驰顺序，是依次松驰距离源点距离最短的未被处理过的点与之相连的顶点。是以一种贪心策略进行松驰的。这种特点导致，一旦某个顶点被处理过（即对与它相连的顶点进行松驰），那么后面该顶点自己被松驰，但是与它相连的顶点不能因为它的松驰而松驰，导致出现不准确的结果。（当边全为正，是不会出现这种情况，因为在松驰与该顶点相连的顶点时，这种算法已经保证了该点已经被松驰到极限）。
注意，使用迪杰斯特拉算法查找最短路径时，必须保证图中所有边的权值为非负数，否则查找过程很容易出错。
算法图解：
Floyd弗洛伊德算法（这可能是全网最能看懂的的Folyd算法图解了）-最好能懂
慢，允许负数权值。
在一个加权图中，如果想找到各个顶点之间的最短路径，可以考虑使用弗洛伊德算法。
弗洛伊德是另外一种求最短路径的方式，与迪杰斯特拉算法不同，弗洛伊德偏重于多源最短路径的求解，即能迪杰斯特拉能够求一个节点到其余所有节点的最短路径，但是弗洛伊德能够求出任意两个节点的最短路径，当然迪杰斯特拉重复N次也能达到目标。两种方式的时间复杂度均为O(n^3)，但弗洛伊德形式上会更简易一些。
贝尔曼福特算法（Bellman-Ford）-了解
典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。（Dijkstra算法也是）；
再处理稀疏图时性能由于迪杰斯特拉算法；但是随着定点规模和稠密度增加性能弱于迪杰斯特拉算法。
基本原理：逐遍的对图中每一个边去迭代计算起始点到其余各点的最短路径，执行N-1遍（原因是避免负权环的情况下陷入死循环），最终得到起始点到其余各点的最短路径。（N为连通图结点数）
Bellman算法的核心就是松驰，没有贪心策略，也使它的时间复杂度比较高。因为它是单纯的松驰。首先我们要明白的是：如果处于第n层的节点，在它上一层的即n-1层所以节点的dist已经确定为最终真实值，那么通过一次遍历，第n层节点的dist也能被确定为最终真实值。第一次迭代，获得的信息是：与源点相邻点的真正dist（第二层节点），（其他点的可能仍为无穷大，或者为松驰一次状态）；第二次循环，因为第二层的信息已经完全掌握，此次迭代是能确定第三层节点（从源点出发，经过2条边）的点的真实最短距离。（由于遍历的过程中，只完全掌握了第一层，其他节点的dist不能完全确定为最终的dist);如此循环，遍历n-1次，第n层的节点已经遍历完，至此，所有节点的dist都最终确定了。
对于贝尔曼福特和迪杰斯特拉算法的比较；这里有一份非常详尽的对比资料可以参考：
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/917/1/012077/pdf
具体的算法图解见下图：
原文：https://www.geeksforgeeks.org/bellman-ford-algorithm-dp-23/
最短路径算法的比较：
比较项目 | floyd （弗洛伊德算法） | Dijkstra（迪杰斯特拉算法） | bellman-ford（贝尔曼夫德算法） | spfa |
空间复杂度 | O（N²） | O（M） | O（M） | O（M） |
时间复杂度 | O（N³） | O（（m+n）logN） | O（MN） | 最坏也是O（NM） |
适用情况 | 稠密图和顶点关系密切 | 稠密图和顶点关系密切 | 稀疏图和边关系密切 | 稀疏图和边关系密切 |
负权 | 可以 | 不能 | 可以 | 可以 |
有负权边时可否处理 | 可以 | 不能 | 可以 | 可以 |
判断是否存在负权回路 | 不能 | 不能 | 可以 | 可以 |
其中N表示图中顶点数，M表示图中边数。
名词解释：
- 松弛操作：不断更新最短路径和前驱结点的操作。
- 负权回路：绕一圈绕回来发现到自己的距离从0变成了负数，到各结点的距离无限制的降低，停不下来。
6.8 拓扑排序
无环有向图称为无环图（DAG）
拓扑排序实质上是对有向图的顶点排成一个线性序列。
什么叫拓扑排序？
定义：对AOV网构造顶点线性序列(…i,…,k,…j,…) i是j的前趋，则i在j之前，若i、k间无路径，则或i在k前，或k在i前都可以。这样的线性序列称为 拓扑有序序列 。
拓扑有序序列的构造过程称为 拓扑排序 。
为什么会有拓扑排序？
拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。
为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。
AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系，AOV网不能存在回路；
规则：
- 图中每个顶点只出现
一次。 - A在B前面，则不存在B在A前面的路径。(
不能成环！！！！) - 顶点的顺序是保证所有指向它的下个节点在被指节点前面！(例如A—>B—>C那么A一定在B前面，B一定在C前面)。所以，这个核心规则下只要满足即可，所以拓扑排序序列不一定唯一！
对AOV网拓扑排序的步骤：
1，从AOV网中选择一个没有前驱的顶点（或者说没有入度的顶点），并输出它（顺序任意）；
2，从网中删去该顶点，并删掉从该顶点出发的全部弧；
3，重复上述两步，直到剩余网中不存在没有前驱的顶点为止；
图解：
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