CF1446D Frequency Problem(思维 前缀和 根号分治 双指针)

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题意：

给定一个长度为的序列，求最长的满足区间众数有至少两种的区间长度。如果不存在这样的区间，输出 。
两个版本，中,中

思路：

一个很重要的性质：
记整段序列的众数为,答案区间里一定也是众数之一；
反证法：若当前答案区间里出现的次数不是最多的，可以将区间向两边扩展，每次的数量都有可能增加,所有会有某个时间段，的出现次数跟最大的出现次数一样大，并且这段区间仍旧合法，并且比原先的区间更优，假设不成立。

• 由于版本中，，在确定了众数后，我们可以枚举表示让跟出现次数一样多的话能够扩展到的最长区间长度。每次枚举的时候，维护一个新的数组：将等于的位置变为，将等于的位置变为，其他数则为0；问题就转化成了：给定一个序列，求最长的区间使得区间和为;
• 维护一个前缀和，并用记录一下前缀和为的最小下标，再遇到的话就取最大值维护答案；
• 时间复杂度为
• 版本中，，继续采用上述算法复杂度为,考虑用​根号分治思想平衡预处理跟询问。
• 记录每个数出现的次数.对于的数，继续采取上述算法，这样的数的个数不超过,所以这部分的复杂度为
• 对于的数，枚举出现次数，假设出现次数为的数可以作为众数，用双指针维护能够扩展到的最大区间。
• 如果这个序列有两个众数的话，答案就是

代码：

const int maxn=2e5+100;
int n,a[maxn];
unordered_map<int,int>mp;//前缀和标记数组
int main(){
  n=read;
  int res=0,cnt=0,pos;
  rep(i,1,n){
    a[i]=read;
    mp[a[i]]++;
    if(res<mp[a[i]]){//记录众数 res表示众数出现的次数，pos表示众数，cnt表示众数的个数
      res=mp[a[i]];pos=a[i];cnt=1;
    } 
    else if(res==mp[a[i]]) cnt++;
  } 
  
  if(cnt>1){
    write(n);
    return 0;
  }
  int ans=0;
  for(int i=1;i<=100;i++){//枚举第二个数
    if(i==pos) continue;//两者不能相等
    mp.clear();mp[0]=0;//每次清空数组，注意有可能本身就是$0$
    int sum=0;
    for(int j=1;j<=n;j++){
      if(a[j]==i) sum--;
      else if(a[j]==pos) sum++;
      if(mp.count(sum)) ans=max(ans,j-mp[sum]);//以前出现过的话更新答案
      else mp[sum]=j;//记录下标最小的位置
    }  
  }
  write(ans);
  
  return 0;
}

const int maxn=2e5+100;
int n,a[maxn],cnt[maxn],ans=0,maxx;
bool st[maxn];
//unordered_map<int,int>mp;
int mp[maxn*2];//防止下标为负，整体偏移

void solve1(int x){
  rep(i,1,n) mp[i]=mp[i+n]=-1;
  int sum=n;mp[n]=0,mp[0]=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(a[i]==maxx) sum++;
    else if(a[i]==x) sum--;
    if(mp[sum]!=-1) ans=max(ans,i-mp[sum]);
    else mp[sum]=i;
  }  
}
void solve2(int x){
  rep(i,1,n) mp[i]=0;
  int l=1,tot=0;//记录左端点，tot表示出现次数为x的数的个数
  mp[a[l]]++;
  if(mp[a[l]]==x) tot++;
  rep(i,2,n){
    mp[a[i]]++;
    if(mp[a[i]]==x) tot++;//更新tot
    else if(mp[a[i]]>x){
      while(mp[a[i]]>x){//移动左端点直到区间合法
        mp[a[l]]--;
        if(mp[a[l]]==x-1) tot--;//更新tot
        l++;
      }
    }
    if(tot>=2) ans=max(ans,i-l+1);//合法区间的判断
  }
}
int main(){
  n=read;
  rep(i,1,n){
    a[i]=read;
    cnt[a[i]]++;
    if(cnt[maxx]<cnt[a[i]]) maxx=a[i];
  }
  int m=sqrt(n);
  rep(i,1,n){
    if(cnt[i]>=m&&!st[i]&&i!=maxx){//出现次数大于sqrtn的采取D1的写法
      st[i]=1;
      solve1(i);
    }
  }
  for(int i=1;i<m;i++) solve2(i);//枚举次数
  write(ans);
  
  return 0;
}