CF960F. Pathwalks (树上二维LIS 线段树 动态开点树状数组)

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题意：

给定 n 个点 m条边的有向图，可能不连通，可能有重边，也可能会有自环。求最长的路径(可以经过重复节点)，使得这条路径的编号和权值都严格单调递增，其中编号指输入的顺序。路径的长度是指经过边的数量。

思路1：

要求编号也单调递增的话不妨按照输入顺序加边，之后只考虑让权值严格递增即可。

• 设表示以为结尾并且最后一条边权为的最长路径长度。那么该状态可以从所有以为端点并且权值的边转移而来。即是一条边，。
• 现在要做的就是如何快速求出以为起点的权值在之间的长度最大值。
• 对每个节点都开一棵权值线段树，维护内最大值。单点更新，区间查询。
• 用动态开点来优化空间
• 由于权值可能为,在输入的时候统一加

代码1：

// Problem: CF960F Pathwalks
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/CF960F
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<int, int>PII;

inline ll read(){ll x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;}

inline void write(ll x){if (x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}



#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)

ll ksm(ll a, ll b,ll mod){ll res = 1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;}

#define read read()
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;

const int maxn=2e5+7,inf=0x3f3f3f3f;

int n,m;
int dp[maxn],root[maxn],idx;

struct node{
  int l,r,w;
}tr[maxn*40];

void update(int &p,int l,int r,int pos,int val){
  if(!p) p=++idx;
  if(l==r){
    tr[p].w=val;return ;
  }
  int mid=(l+r)/2;
  if(pos<=mid) update(tr[p].l,l,mid,pos,val);
  else update(tr[p].r,mid+1,r,pos,val);
  tr[p].w=max(tr[tr[p].l].w,tr[tr[p].r].w);
}

int query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
  if(p==0) return 0;
  if(ql<=l&&r<=qr) return tr[p].w;
  int mid=(l+r)/2,ans=0;
  if(ql<=mid) ans=max(ans,query(tr[p].l,l,mid,ql,qr));
  if(qr>mid) ans=max(ans,query(tr[p].r,mid+1,r,ql,qr));
  return ans;
}

int main(){
  n=read,m=read;
  int ans=0;
  rep(i,1,m){
    int u=read,v=read,w=read+1;
    dp[v]=query(root[u],1,100000,1,w-1)+1;
    ans=max(ans,dp[v]);
    update(root[v],1,100000,w,dp[v]);
  }
  
  
  write(ans);
  
  
  return 0;
}

思路2：

由于只有单点修改和区间查询，可以用树状数组来代替线段树

• 用map代替数组，实施动态开点

代码2：

// Problem: CF960F Pathwalks
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/CF960F
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<int, int>PII;

inline ll read(){ll x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;}

inline void write(ll x){if (x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}



#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)

ll ksm(ll a, ll b,ll mod){ll res = 1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;}

#define read read()
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;

const int maxn=2e5+7,inf=0x3f3f3f3f;

int n,m;
map<int,int>mp[maxn];
int dp[maxn];

int lowbit(int x){
  return x&-x;
}

void update(int u,int pos,int w){
  if(!pos) mp[u][pos]=max(mp[u][pos],w);  
  else{
    while(pos<maxn){
      mp[u][pos]=max(mp[u][pos],w);
      pos+=lowbit(pos);
    }
  }
}

int query(int u,int pos){
  int ans=mp[u][0];
  while(pos>0){
    ans=max(ans,mp[u][pos]);
    pos-=lowbit(pos);
  }
  return ans;
}

int main(){
  n=read,m=read;
  int ans=0;
  rep(i,1,m){
    int tmp=0;
    int u=read,v=read,w=read;
    tmp=query(u,w-1)+1;
    update(v,w,tmp);
    ans=max(ans,tmp);
  }
  
  
  write(ans);
  
  
  return 0;
}