【蓝桥杯】货物摆放

货物摆放

小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。

现在，小蓝有 $n$ 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。

小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的长方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 $L$、$W$、$H$ 的货物,满足 $n=L\times W\times H$。

给定 $n$，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。

例如，当 $n=4$ 时，有以下 $6$ 种方案：$1\times 1\times 4、1\times 2\times 2、1\times 4\times 1、2\times 1\times 2、2\times 2\times 1、4\times 1\times 1$

请问，当 $n=2021041820210418$ （注意有 $16$ 位数字）时，总共有多少种方案？

思路

• 因为是填空题，所以直接暴力
• 数据很大，所以用 $python$ 暴力
• 题目可以转化为：求将一个数 $n$ 分解成三个因数相乘的方法数，并且不同顺序也算不同方法数
• 解题思路可以为：把数 $n$ 的所有因数求出来(包括1和本身)，相同的因数取一次，再遍历这些因数，求出每个因数分解的因数个数，累加即可
• 比如题目所给的4：
• 首先分解因数，得到序列 $(1,2,4)$
• 再遍历，首先是1：易知 $1=1\times 1$，只有一种分法
• 然后是2：$2=1\times 2,2=2\times 1$，共两种分法，注意不同顺序算不同的分法
• 然后是4：$4=1\times 4,4=2\times 2,4=4\times 1$，共三种分法
• 综上可知：方法数为 $1+2+3=6$种，也可验证，这种思路是正确的

代码如下

# 首先可以用计算器算出根号2021041820210418的值，向上取整为44955999
# 然后计算其所有因数
ans = [] # 用于存因数
num = 2021041820210418
for i in range(1, 44955999):
    if(num % i == 0):
        ans.append(i)

ans.reverse()
res = []
for i in ans:
    res.append(num//i)

ans.reverse()
ans.extend(res)
print(ans)

然后得到以下结果：

[1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 131, 153, 262, 306, 393, 459, 786, 918, 1179, 2227, 2358, 2857, 3537, 4454, 5714, 6681, 7074, 8571, 13362, 17142, 20043, 25713, 40086, 48569, 51426, 60129, 77139, 97138, 120258, 145707, 154278, 291414, 374267, 437121, 748534, 874242, 1122801, 1311363, 2245602, 2622726, 3368403, 5882353, 6362539, 6736806, 10105209, 11764706, 12725078, 17647059, 19087617, 20210418, 35294118, 38175234, 52941177, 57262851, 100000001, 105882354, 114525702, 158823531, 171788553, 200000002, 300000003, 317647062, 343577106, 600000006, 770588243, 900000009, 1541176486, 1800000018, 2311764729, 2700000027, 4623529458, 5400000054,6935294187, 13100000131, 13870588374, 16805882521, 20805882561, 26200000262, 33611765042, 39300000393, 41611765122, 50417647563, 78600000786, 100835295126, 117900001179, 151252942689, 235800002358, 285700002857, 302505885378, 353700003537, 453758828067, 571400005714, 707400007074, 857100008571, 907517656134, 1714200017142, 2201570610251, 2571300025713, 4403141220502, 5142600051426, 6604711830753, 7713900077139, 13209423661506, 15427800154278, 19814135492259, 37426700374267, 39628270984518, 59442406476777, 74853400748534, 112280101122801, 118884812953554, 224560202245602, 336840303368403, 673680606736806, 1010520910105209, 2021041820210418]

再写一个求解程序即可，因为是暴力，所以就没有在意复杂度了

import math

def check(n):
'''
判断一个数是不是平方数
'''
    k = int(math.sqrt(n))
    if(k*k == n):
        return True
    return False


def cal_num(n):
'''
计算一个数的因数个数
'''
    t = 0
    for i in range(1, int(math.sqrt(n))+1):
        if(n % i == 0):
            t += 2
    if(check(n)):
    	# 如果是平方数的话，要少算一个才行
        t -= 1
    return t

# 借用上一个程序的结果
ans = [1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 131, 153, 262, 306, 393, 459, 786, 918, 1179, 2227, 2358, 2857, 3537, 4454, 5714, 6681, 7074, 8571, 13362, 17142, 20043, 25713, 40086, 48569, 51426, 60129, 77139, 97138, 120258, 145707, 154278, 291414, 374267, 437121, 748534, 874242, 1122801, 1311363, 2245602, 2622726, 3368403, 5882353, 6362539, 6736806, 10105209, 11764706, 12725078, 17647059, 19087617, 20210418, 35294118, 38175234, 52941177, 57262851, 100000001, 105882354, 114525702, 158823531, 171788553, 200000002, 300000003, 317647062, 343577106, 600000006, 770588243, 900000009, 1541176486, 1800000018, 2311764729, 2700000027, 4623529458, 5400000054,6935294187, 13100000131, 13870588374, 16805882521, 20805882561, 26200000262, 33611765042, 39300000393, 41611765122, 50417647563, 78600000786, 100835295126, 117900001179, 151252942689, 235800002358, 285700002857, 302505885378, 353700003537, 453758828067, 571400005714, 707400007074, 857100008571, 907517656134, 1714200017142, 2201570610251, 2571300025713, 4403141220502, 5142600051426, 6604711830753, 7713900077139, 13209423661506, 15427800154278, 19814135492259, 37426700374267, 39628270984518, 59442406476777, 74853400748534, 112280101122801, 118884812953554, 224560202245602, 336840303368403, 673680606736806, 1010520910105209, 2021041820210418]

cnt = 0 # 方法数
for i in ans:
    cnt += cal_num(i)
print(cnt)