第k小数/可持久化权值线段树的一些理解-CFANZ编程社区

标题

主要的解释大部分在代码块里面，代码是主席树的模板题，第k小数的部分代码；

修改函数

跟线段树不同的是，主席树递归的不再是左右边界，而是左右子节点，每次修改都是从根节点生成一条新的路径，与不牵涉修改的点相连

int insert(int p, int l, int r, int x)
{
    int q = ++idx; //每次修改操作都会生成一个新的根节点
    tr[q] = tr[p]; //将原来的节点复制下来
    if (l == r)
    {
        tr[q].cnt++;
        return q;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid)
        tr[q].l = insert(tr[p].l, l, mid, x);
    else
        tr[q].r = insert(tr[p].r, mid + 1, r, x);
    //把从根节点到要修改的点的路径上所有的点都跟更新一遍，相当于生成了一条新的路径，但是这条路径仍然与不牵涉修改的点相连
    tr[q].cnt = tr[tr[q].l].cnt + tr[tr[q].r].cnt; //更新父节点
    return q;
}

查询函数

主席树查询第k小数的主要思想就是不同历史版本之间的前缀和作差；
每次查询到一个结点之后，首先看新版本的树与旧版本的树左节点的差值，
根据差值决定下一步是向左递归还是向右递归

int query(int q, int p, int l, int r, int k) // p为新版本，q为老版本
{
    if (l == r)
        return r;
    int cnt = tr[tr[q].l].cnt - tr[tr[p].l].cnt;
    //先求出左边的点的数量，也就是权值
    int mid = l + r >> 1;
    if (k <= cnt)
        return query(tr[q].l, tr[p].l, l, mid, k); //向左边递归，数量已经够了
    else
        return query(tr[q].r, tr[p].r, mid + 1, r, k - cnt); //向右边递归（因为查出的元素还不够，把左边减下去在继续从右边找）；
}

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 10010;
int n, m;
int a[N];
int root[N], idx;
vector<int> nums;
struct node
{
    int l, r;
    int cnt;
} tr[N * 20];

int find(int x)
{
    return lower_bound(nums.begin(), nums.end(), x) - nums.begin();
}

int build(int l, int r)
{
    int p = ++idx;
    if (l == r)
        return p;
    int mid = l + r >> 1;
    tr[p].l = build(l, mid), tr[p].r = build(mid + 1, r);
    return p;
}

int insert(int p, int l, int r, int x)
{
    int q = ++idx; //每次修改操作都会生成一个新的根节点
    tr[q] = tr[p]; //将原来的节点复制下来
    if (l == r)
    {
        tr[q].cnt++;
        return q;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid)
        tr[q].l = insert(tr[p].l, l, mid, x);
    else
        tr[q].r = insert(tr[p].r, mid + 1, r, x);
    //把从根节点到要修改的点的路径上所有的点都跟更新一遍，相当于生成了一条新的路径，但是这条路径仍然与不牵涉修改的点相连
    tr[q].cnt = tr[tr[q].l].cnt + tr[tr[q].r].cnt; //更新父节点
    return q;
}
int query(int q, int p, int l, int r, int k) // p为新版本，q为老版本
{
    if (l == r)
        return r;
    int cnt = tr[tr[q].l].cnt - tr[tr[p].l].cnt;
    //先求出左边的点的数量，也就是权值
    int mid = l + r >> 1;
    if (k <= cnt)
        return query(tr[q].l, tr[p].l, l, mid, k); //向左边递归，数量已经够了
    else
        return query(tr[q].r, tr[p].r, mid + 1, r, k - cnt); //向右边递归（因为查出的元素还不够，把左边减下去在继续从右边找）；
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        nums.push_back(a[i]);
    }
    sort(nums.begin(), nums.end());
    nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());
    root[0] = build(0, nums.size() - 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        root[i] = insert(root[i - 1], 0, nums.size() - 1, find(a[i])); // 根据老版本去更新新版本的根节点。
    }
    while (m--)
    {
        int l, r, k;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
        printf("%d\n", nums[query(root[r], root[l - 1], 0, nums.size() - 1, k)]);
    }
    return 0;
}