数据结构与算法-剑指Offer系列（9）斐波那契数列（Fibonacci）-青蛙跳台问题-Java实现

递归与循环在函数求解中会经常使用，但是各自有各自的优缺点

递归：代码小，但是不优化的话时间空间占用较大

题目9：斐波那契数列

问题描述：

写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。

解题思路：

• 常规解法，按照递推公式，f(n) = f(n-1)+f(n-2)实现递归，但是会出现就很多重复计算节点;
• 实用解法：将计算的的结果保存下来，下次计算时调用即可；
• 进阶解法：从下往上计算 f(0)和f(1)算出f(2)，再由f(1)和f(2) 算出f(3)

实现代码：

普通解法：

public long Fibonacci(int n) {
    if(n<=0)
      return 0;
    if(n==1)
      return 1;
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
  }

复杂度为O(n的算法)

public long Fibonacci2(int n) {
    int result[] = {0,1};
    if(n<2)
      return result[n];
    long fibNMinusOne = 1;
    long fibNMinusTwo = 0;
    long fibN = 0;
    for(int i =2;i<-n;i++) {
      fibN = fibNMinusOne+fibNMinusTwo;
      fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
      fibNMinusOne = fibN;
    }
    return fibN;
  }

时间复杂度为O(logn)但是不实用的解法（比较难）

利用数学公式              

求矩阵的乘方        

利用递归的思路计算乘方，即可将时间复杂度降低为O(longn)

​​解法参考GitHub​​

解法比较：

• 第一种使用递归的解法，效率较低
• 第二种将递归转换为循环，提高了空间效率；
• 第三种代码较为复杂，隐含的时间常数大；

题目9-2青蛙跳台问题

题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目分析：

当只有一级台阶时，只有一种选择，当有两级台阶时有2种，1、分两次跳  2、一次跳两格，当为n时，可以看作第一次跳一级，后面的跳法f(n-1);第二次跳2级，此时后面跳法f(n-2)，因此n级台阶的不同跳法总数就是f(n) = f(n-1)+f(n-2),因此转换为斐波那契数列Fibonacci Array

题目9-3 青蛙跳台阶

题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目分析：

除了必须到达最后一级台阶，第1级到第n-1级台阶都可以有选择的跳，也就是说对于这n-1个台阶来说，每个台阶都有跳上和不跳上2种情况，所以一共有2^(n-1)种方法。