极值理论关注风险损失分布的尾部特征,通常用来分析概率罕见的事件,它可以依靠少量样本数据,在总体分布未知的情况下,得到总体分布中极值的变化情况,具有超越样本数据的估计能力。因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨灾损失数据信息,从而成为极值理论当前的主流技术。
针对巨灾发生频率低、损失高、数据不足且具有厚尾性等特点,利用GPD模型对火灾经济损失数据进行了统计建模;并对形状参数及尺度参数进行了估计。模型检验表明,GPD模型对巨灾风险厚尾特点具有较好的拟合效果和拟合精度,为巨灾风险估计的建模及巨灾债券的定价提供了理论依据。
火灾损失数据
本文使用的数据是在再保险公司收集的,包括1980年至1990年期间的2167起火灾损失。已对通货膨胀进行了调整。总索赔额已分为建筑物损失、利润损失。
- base1=read.table( "dataunivar.txt",
- header=TRUE)
- base2=read.table( "datamultiva.txt",
- header=TRUE)
考虑第一个数据集(到目前为止,我们处理的是单变量极值),
- > D=as.Date(as.character(base1$Date),"%m/%d/%Y")
- > plot(D,X,type="h")
图表如下:
然后一个自然的想法是可视化
例如
- > plot(log(Xs),log((n:1)/(n+1)))
线性回归
这里的点在一条直线上。斜率可以通过线性回归得到,
- lm(formula = Y ~ X, data = B)
- lm(Y~X,data=B[(n-500):n,])
- lm(formula = Y ~ X, data = B[(n - 100):n, ])
重尾分布
这里的斜率与分布的尾部指数有关。考虑一些重尾分布
由于自然估计量是阶次统计量,因此直线的斜率与尾部指数相反
. 斜率的估计值为(仅考虑最大的观测值)
希尔估算量
希尔估算量基于以下假设:上面的分母几乎为1(即等于)。
那么可以得到收敛性假设。进一步
基于这个(渐近)分布,可以得到一个(渐近)置信区间
- > xi=1/(1:n)*cumsum(logXs)-logXs
- > xise=1.96/sqrt(1:n)*xi
- > polygon(c(1:n,n:1),c(xi+xise,rev(xi-xise)),
增量方法
与之类似(同样还有关于收敛速度的附加假设)
(使用增量方法获得)。同样,我们可以使用该结果得出(渐近)置信区间
- > alphase=1.96/sqrt(1:n)/xi
- > polygon(c(1:n,n:1),c(alpha+alphase,rev(alpha-alphase)),
Deckers-einmal-de-Haan估计量
然后(再次考虑收敛速度的条件,即),
Pickands估计
由于
,
代码
- > xi=1/log(2)*log( (Xs[seq(1,length=trunc(n/4),by=1)]-
- + Xs[seq(2,length=trunc(n/4),by=2)])/
- > xise=1.96/sqrt(seq(1,length=trunc(n/4),by=1))*
- +sqrt( xi^2*(2^(xi+1)+1)/((2*(2^xi-1)*log(2))^2))
- > polygon(c(seq(1,length=trunc(n/4),by=1),rev(seq(1,
拟合GPD分布
也可以使用最大似然方法来拟合高阈值上的GPD分布。
- > gpd
- $n
- [1] 2167
- $threshold
- [1] 5
- $p.less.thresh
- [1] 0.8827873
- $n.exceed
- [1] 254
- $method
- [1] "ml"
- $par.ests
- xi beta
- 0.6320499 3.8074817
- $par.ses
- xi beta
- 0.1117143 0.4637270
- $varcov
- [,1] [,2]
- [1,] 0.01248007 -0.03203283
- [2,] -0.03203283 0.21504269
- $information
- [1] "observed"
- $converged
- [1] 0
- $nllh.final
- [1] 754.1115
- attr(,"class")
- [1] "gpd"
或等效地
- > gpd.fit
- $threshold
- [1] 5
- $nexc
- [1] 254
- $conv
- [1] 0
- $nllh
- [1] 754.1115
- $mle
- [1] 3.8078632 0.6315749
- $rate
- [1] 0.1172127
- $se
- [1] 0.4636270 0.1116136
它可以可视化尾部指数的轮廓似然性,
> gpd.prof
或者
> gpd.prof
因此,可以绘制尾指数的最大似然估计量,作为阈值的函数(包括置信区间),
- Vectorize(function(u){gpd(X,u)$par.ests[1]})
- plot(u,XI,ylim=c(0,2))
- segments(u,XI-1.96*XIS,u,XI+
最后,可以使用块极大值技术。
- gev.fit
- $conv
- [1] 0
- $nllh
- [1] 3392.418
- $mle
- [1] 1.4833484 0.5930190 0.9168128
- $se
- [1] 0.01507776 0.01866719 0.03035380
尾部指数的估计值是在这里最后一个系数。