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拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析

蓝哆啦呀 2022-11-14 阅读 83


极值理论关注风险损失分布的尾部特征,通常用来分析概率罕见的事件,它可以依靠少量样本数据,在总体分布未知的情况下,得到总体分布中极值的变化情况,具有超越样本数据的估计能力。因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨灾损失数据信息,从而成为极值理论当前的主流技术。

针对巨灾发生频率低、损失高、数据不足且具有厚尾性等特点,利用GPD模型对火灾经济损失数据进行了统计建模;并对形状参数及尺度参数进行了估计。模型检验表明,GPD模型对巨灾风险厚尾特点具有较好的拟合效果和拟合精度,为巨灾风险估计的建模及巨灾债券的定价提供了理论依据。

火灾损失数据

本文使用的数据是在再保险公司收集的,包括1980年至1990年期间的2167起火灾损失。已对通货膨胀进行了调整。总索赔额已分为建筑物损失、利润损失。

  1.  base1=read.table( "dataunivar.txt",
  2.  header=TRUE)
  3.  base2=read.table( "datamultiva.txt",
  4.  header=TRUE)

考虑第一个数据集(到目前为止,我们处理的是单变量极值),

  1.   
  2.  > D=as.Date(as.character(base1$Date),"%m/%d/%Y")
  3.  > plot(D,X,type="h")

图表如下:

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_数据

然后一个自然的想法是可视化

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_数据_02

例如

  1.   
  2.  > plot(log(Xs),log((n:1)/(n+1)))

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_03

线性回归

这里的点在一条直线上。斜率可以通过线性回归得到,

  1.   
  2.  lm(formula = Y ~ X, data = B)
  3.  lm(Y~X,data=B[(n-500):n,])
  4.  lm(formula = Y ~ X, data = B[(n - 100):n, ])

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_04

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_数据_05

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_06

重尾分布

这里的斜率与分布的尾部指数有关。考虑一些重尾分布

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_07

由于自然估计量是阶次统计量,因此直线的斜率与尾部指数相反 

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_08

. 斜率的估计值为(仅考虑最大的观测值)

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_09

希尔估算量

希尔估算量​​基于以下假设:上面的分母几乎为1(即等于)。​​

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_10

那么可以得到收敛性假设。进一步

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_11

基于这个(渐近)分布,可以得到一个(渐近)置信区间 

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_12

  1.  > xi=1/(1:n)*cumsum(logXs)-logXs
  2.  > xise=1.96/sqrt(1:n)*xi
  3.   
  4.  > polygon(c(1:n,n:1),c(xi+xise,rev(xi-xise)),

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_13

增量方法

与之类似(同样还有关于收敛速度的附加假设) 

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_14

(使用增量方法获得)。同样,我们可以使用该结果得出(渐近)置信区间

  1.   
  2.  > alphase=1.96/sqrt(1:n)/xi
  3.  > polygon(c(1:n,n:1),c(alpha+alphase,rev(alpha-alphase)),

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_15

 

Deckers-einmal-de-Haan估计量

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_16

然后(再次考虑收敛速度的条件,即),

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_17

 

Pickands估计

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_18

 

 由于 

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_19

,

 

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_20

代码

  1.  > xi=1/log(2)*log( (Xs[seq(1,length=trunc(n/4),by=1)]-
  2.  + Xs[seq(2,length=trunc(n/4),by=2)])/
  3.   
  4.  > xise=1.96/sqrt(seq(1,length=trunc(n/4),by=1))*
  5.  +sqrt( xi^2*(2^(xi+1)+1)/((2*(2^xi-1)*log(2))^2))
  6.   
  7.  > polygon(c(seq(1,length=trunc(n/4),by=1),rev(seq(1,

 

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_数据_21

拟合GPD分布

也可以使用最大似然方法来拟合高阈值上的GPD分布。

  1.   
  2.  > gpd
  3.  $n
  4.  [1] 2167
  5.   
  6.  $threshold
  7.  [1] 5
  8.   
  9.  $p.less.thresh
  10.  [1] 0.8827873
  11.   
  12.  $n.exceed
  13.  [1] 254
  14.   
  15.  $method
  16.  [1] "ml"
  17.   
  18.  $par.ests
  19.  xi beta
  20.  0.6320499 3.8074817
  21.   
  22.  $par.ses
  23.  xi beta
  24.  0.1117143 0.4637270
  25.   
  26.  $varcov
  27.  [,1] [,2]
  28.  [1,] 0.01248007 -0.03203283
  29.  [2,] -0.03203283 0.21504269
  30.   
  31.  $information
  32.  [1] "observed"
  33.   
  34.  $converged
  35.  [1] 0
  36.   
  37.  $nllh.final
  38.  [1] 754.1115
  39.   
  40.  attr(,"class")
  41.  [1] "gpd"

或等效地

  1.  > gpd.fit
  2.  $threshold
  3.  [1] 5
  4.   
  5.  $nexc
  6.  [1] 254
  7.   
  8.  $conv
  9.  [1] 0
  10.   
  11.  $nllh
  12.  [1] 754.1115
  13.   
  14.  $mle
  15.  [1] 3.8078632 0.6315749
  16.   
  17.  $rate
  18.  [1] 0.1172127
  19.   
  20.  $se
  21.  [1] 0.4636270 0.1116136

它可以可视化尾部指数的轮廓似然性,

> gpd.prof

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_r语言_22

 

或者

> gpd.prof

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_23

 

因此,可以绘制尾指数的最大似然估计量,作为阈值的函数(包括置信区间),

  1.  Vectorize(function(u){gpd(X,u)$par.ests[1]})
  2.   
  3.  plot(u,XI,ylim=c(0,2))
  4.  segments(u,XI-1.96*XIS,u,XI+

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_数据_24

 

最后,可以使用块极大值技术。

  1.  gev.fit
  2.  $conv
  3.  [1] 0
  4.   
  5.  $nllh
  6.  [1] 3392.418
  7.   
  8.  $mle
  9.  [1] 1.4833484 0.5930190 0.9168128
  10.   
  11.  $se
  12.  [1] 0.01507776 0.01866719 0.03035380

尾部指数的估计值是在这里最后一个系数。

拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析_拟合_25

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