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这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?


上周回家,看到堂弟在写的一道数学题,突然发现这道题是一道「传说级」的经典题目。

题目是这样的:

任意圆上随机取一条弦,这条弦的长度比这个圆的内接等边三角形的边长更长的概率是多少?(如下图所示,任意取一条弦 DE,圆内接等边△ABC)

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_编程语言

这道题看上去其实很简单,仔细观察上图,大家也差不多能猜出结果是多少,看看下面的解法:

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_编程语言_02

圆的内接等边 △ABC 中 ∠C = 60°,由顶点C引出的弦,其中所有弦长大于△ABC 边 BC和AC的长度,均落在 ∠C 所对应的弧AB上,弧AB的弧长占整个圆形的三分之一,所以概率是 P = 1/3

但 P = 1/3 真的,对吗?那我们再看看下面这种情况。 

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_人工智能_03

在垂直于△ABC 任意一边的直径上随机取一个点,并通过该点做一条垂直于该直径的弦,由圆内接正三角形的性质可得,在该点位于半径中点的时候,弦长等于 △ABC 的边长,当直径上的点离圆心的距离小于圆半径的 1/2  时,弦长大于△ABC 边长,所以概率 P = 1/2

这样看,答案又变成 1/2 了,难道第一个情况算错了,那 P = 1/2 是正确答案吗?

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_算法_04

情况远不止如此,我们再看看下面这个情况。

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_编程语言_05

在△ABC 中做内切圆,当弦DE 的中点在内切圆(小圆)内时,弦 DE 的长度大于△ABC 的边长,而外接圆(大圆)的弦中点一定在内切圆(小圆)内,大圆的面积是 πr²,小圆的面积是 1/4πr² (小圆半径大圆的 1/2)。答案又变了,概率 P = 1/4 。     

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_ai_06

同一道数学题,竟然有三种答案,到底哪个答案是错的?出现这种结果的原因出在哪啊?

这个问题现象,是由法国学者贝特朗在 1899 年针对几何概型的问题,称之为「贝特朗奇论」。

这道「传说级」的数学题,为什么有 3 个正确答案?_ai_07

其实,三个答案都是正确答案,真正问题出在了题目本身。

题目中,在「圆上取弦」的方式有问题,从概率论的角度来说,不同的「取弦」方式,所获得结果的样本空间不同,造成最后概率不同。

  • 第一种情况,假定弦的一端是固定的,另一端在圆周上均匀分布,圆周上的点所组成样本空间为 A。
  • 第二种情况,假定弦的中点在圆的直径上均匀分布,在直线上的样本空间为B。
  • 第三种情况,假定弦的中点在大圆内部均匀分布,大圆内的点所组成样本空间为C。

实际上,这种 「悖论」并不是真正的「悖论」。这只是选择了不同的「弦」导致了不同的概率结果。至于哪一个概率是正确的,决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。

样本空间:我们将随机试验 E 的一切可能基本结果(或实验过程如取法或分配法)组成的集合称为 E 的样本空间,记为 S。样本空间的元素,即 E 的每一个可能的结果,称为样本点。

生活中,概率问题看上去都很简单,但人们却经常掉入一些概率的陷阱之中。

我们常常听到的「三门问题」、「赌徒思维」都是概率给我们设下的陷阱,让我们忽视了问题内在逻辑。

上学时,我们做概率统计方面的题目,经常得出各种各样的答案,有时与正确答案相距甚远,有时会忽略不同事件发生的情况,这是因为不同思维水平的人对题目的理解大相径庭。

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