为什么图像中（空域）梯度大的地方意味着（频域）频率高？

前言

或许这个问题对于真正懂的人，根本不会是个问题，也就是一知半解的人才会有这个疑问。
对我启发最大的一个视频是这个：https://www.bilibili.com/video/BV1di4y1y7au，看懂其的前提我觉得是要熟练掌握工程上傅里叶变换的意义，其实也不麻烦，就是不同周期函数的叠加就是了。
另外提供有意义信息的还有如下：

• 知乎的

背景

翻过了大多数的博客，很多人都知道的东西：图片上的高频分量对应图像边缘，图片上的低频分量对应图像的大片色块，换句话说，图片上变化快的区域对应高频分量，变换慢的区域对应低频分量。
为什么会是此？

• 有些人会谈到图像梯度（图像的梯度就是相邻量像素的向量差，有大小和方向），说“梯度大就周期短，周期短就频率大”。
• 有些人直接就说，“图像的频域图谱就是图像的梯度”，梯度大的反应在频谱图上就是亮色多。

不得不说这些人真的是什么都敢说，没有真正理解问题。
其实工程师也不需要理解背后的“为什么”，知道有这个特性，会用就行。
但是不懂不能编造出来个理由骗自己，骗完自己还发到网上来误导别人啊。

更多的人直接用实验说明一切，直接手写低通滤波和高通滤波，输入图片看结果。很有说服力，也很生动，但是我个人还是想知道背后的关系。

前提

对于不懂傅里叶变换的读者，我推荐先看懂傅里叶变换，这篇14年的帖子，经典永流传:https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362

正文

图片是二维的，有两个方位，对应着我们应当用二维离散傅里叶，但是没有必要，我们可以直接用一维的做例子推广到二维就行了。你可以简单理解为只取图片的一行像素或者一列像素。
对于一维的傅里叶变换：

这个图很好的描述了不同正弦波叠加后的合成，其实你可以发现使得波突然上升的那个分量，是振幅最大的分量的贡献。

“波突然上升”在图像里意味着什么？
就是梯度的大，也就意味着相邻两像素的差值很大，也就是图像的边缘。

那么，怎样的分量才能让“波突然上升”？振幅大的分量。

哪里有振幅大的分量？
高中学过，一个分量的通用形式是：$Asin(\lambda t+\varphi )$，A是系数（振幅），$\lambda$是频率，$\varphi$是初相位。
傅里叶变换公式告诉我们，频率基中的$\lambda$和其对应系数（也就是对应振幅）$A$的关系如下：
$$A(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)exp(-i\lambda t)dt$$

简单说，是一个$\lambda$对应一个$A$，两两成对。想要$A$大，其$\lambda$一定要大。而$\lambda$就是频率，其大，显然意味着频率高，对应也就是高频分量。

低频分量的可以以同样的方式推出。

然后再从一维推广到二维就可以了。对于推广，可以看我一开始列出来的那个知乎。我不赘述了。

总结

网络上的帖子不能够盲目相信。对于问题不能自欺欺人，一叶障目。