第二章多边形

代码表示

struct Polygon{vector<Point> p;}
//逆时针表示端点

面积

可以选定任意一点O与多边形的顶点$P$相连

$S=||{\sum }_{i=0}^{n-1}o{p}_i\times {op}_{(i+1)modn}||$

特别的是，当点o位于多边形外时同样成立

由图可见，蓝色部分与红色部分得到的结果符号不同，红色部分被蓝色部分全部覆盖。
因此，结论同样成立。

判断点是否在多边形内

光线投射法

从点A向任意方向做射线

• 该射线与多边形有奇数个交点，点在多边形内
• 该射线与多边形有偶数个交点，点在多边形外

但是，当射线与顶点相交时，无法判断，因此需要特判顶点

当交点为顶点时，只需将点上移，即可符合该结论。

回转法

对于一个多边形，我们只需计算逆时针计算相邻夹角的角度和。

• 当角度和为0，则点在多边形外（同“面积”部分的第二个图所示
• 当角度和为180度，则点在多边形内（同“面积”部分的第一个图所示

但是，该方法需要使用反三角函数，会存在精度问题

光线投射法的推广（无精度问题

以需要判断的点为顶点，任意画一条射线

• 若线段逆时针穿过射线，$wn+1$
• 若线段顺时针穿过射线，$wn-1$

当$wn$为0时，点在多边形外，否则在多边形内。（逆时针与顺时针可交换

注意

以上方法都需要先特判点是否在多边形上

代码和习题后续补充