@[TOC]([呱一题] 爷奖国方程(数论))

原题

题解

我们不妨设$K=T!$，那么有:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\frac{1}{N}+\frac{1}{M}}=K \\ \iff \frac{1}{N}+\frac{1}{M}=\frac{1}{K} \\ \iff (N+M)K=NM \\ \iff -(N+M)K+NM=0 \\ \iff K^2-(N+M)K+NM=K^2 \\ \iff (N-K)(M-K)=K^2 \end{gathered}$$

显然，$(N-K),(M-K)$为$K^2$的两个因子，所以答案即为$K^2$的因子个数，即${(T!)}^2$的因子个数。

我们对$T!$做质因子分解，有:

$$\begin{gathered} T!=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n} \\ (T!{)}^2=p_1^{2k_1}\cdot p_2^{2k_2}\cdots p_n^{2k_n} \end{gathered}$$

那么$(T!{)}^2$的因子个数为:

$$answer=(2k_1+1)\cdot (2k_1+1)\cdots (2k_n+1)$$

现在我们考虑如何对$T!$做质因子分解，对于一个质数$X$，在$[1,T]$中，有$\lfloor \frac{T}{X}\rfloor$个数含有至少1个这个质因子，有$\lfloor \frac{T}{X^2}\rfloor$个数含有至少2个这个质因子……

所以我们只需要先筛出T以内的质数，再对每个质数做上述处理计算T!中含有多少个这个质因子即可。

代码实现

首先，我们要筛出所有的质数，这里用线性筛法。

const int N=1e7+1;
const int M=19260817;

vector<int> prime;
bool notPrime[N];

void filte()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!notPrime[i])
        {
            //cout<<i<<endl;
            prime.push_back(i);
            for(long long j=1ll*i*i;j<N;j+=i)
            {
                notPrime[j]=true;
            }
        }
    }
}

然后，我们对每个质数计算$T!$包含多少个因子。

long long LTZ_euqition(long long T)
{
    long long answer=1;
    int cnt=0;
    for(int X:prime)
    {
        if(X>T)break;
        long long x=X;
        while(x<=T)
        {
            cnt+=T/x;
            x*=X;
        }
        answer*=(2*cnt+1);
        answer%=M;
        cnt=0;
    }
    return answer;
}

下附完整实现

// by Concyclics
//
//
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N=1e7+1;
const int M=19260817;

vector<int> prime;
bool notPrime[N];

void filte()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!notPrime[i])
        {
            //cout<<i<<endl;
            prime.push_back(i);
            for(long long j=1ll*i*i;j<N;j+=i)
            {
                notPrime[j]=true;
            }
        }
    }
}

long long LTZ_euqition(long long T)
{
    long long answer=1;
    int cnt=0;
    for(int X:prime)
    {
        if(X>T)break;
        long long x=X;
        while(x<=T)
        {
            cnt+=T/x;
            x*=X;
        }
        
        answer*=(2*cnt+1);
        answer%=M;
        cnt=0;
    }
    return answer;
}

int main()
{
    
    filte();
    int T;
    cin>>T;
    cout<<LTZ_euqition(T);
}