小波变换一之Haar变换

小波变换一之Haar变换

• ​​Haar变换​​

• ​​案例一简单一维信号变换​​
• ​​案例二多分辨率一维信号变换​​

Haar变换

案例一简单一维信号变换

下面是一个一维信号（一组数）：

我对这个信号进行如下处理：

（相邻两个数相加，求平均，然后乘以）

（相邻两个数相减，求平均，然后乘以）

注：至于为什么要乘以呢？我们这里先不解释，放到后面再说。

然后按照先后的顺序排列（是离散信号中的值的个数）

则，，

我们可以得到结果：

这就是传说中的Haar变换了……

表示的是信号的趋势（trend），近似（approximation），是低频信息；而表示的是信号的细节（detail），是高频信息。

那么我们怎么变回去呢？我们对变换以后的信号进行如下处理：

（第个和相加，求平均，然后乘以）

（第个和相减，求平均，然后乘以）

我们可以得到结果

这样就是Haar变换的逆变换。

通过观察，我们可以发现：

• 中的数字绝大部分都很小（这是做信息压缩很重要的依据）
• 变换前后信号的能量保持不变，即（有兴趣的同学可以算一下对于和的能量都是60，刚好相等）

案例二多分辨率一维信号变换

我们可以按照上面的思路将信号对得到的低频信号（）一直一直划分下去，直到（离散信号的值的数目不是偶数的，可以在后面补0）

给定如下的一个信号：

我们通过在[0, 1]之间取样1024个点可以得到信号的振幅，绘制出信号图像如下：

我们可以通过案例一种描述的方法进行Haar变换，我们这里对信号进行两次Haar变换，如下图所示：

这是多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）以及图像压缩（JPEG2000编码）等的基础理念，这里现有一个大概理解，后面我们会继续谈到。

变换的结果如下（感兴趣的朋友可以使用Mathematica或者MATLAB是一样，这两个数学软件都提供了对Haar变换的直接支持）：

好了，这一节先到这里，我们以后有时间慢慢聊！