【2021-MOOC-浙江大学-陈越、何钦铭-数据结构】树-中

文章目录

• ​​1.二叉搜索树​​

• ​​1.1 二叉搜索树的查找操作：Find​​

• ​​1.1.1 递归查找​​
• ​​1.1.2 非递归查找​​
• ​​1.13 查找最大和最小元素​​

• ​​1.2 二叉搜索树的插入​​

• ​​1.2.1 插入算法​​

• ​​1.3 二叉搜索树的删除​​

• ​​1.3.1 删除算法​​

• ​​1.4 完整代码​​

• ​​2.平衡二叉树​​

• ​​2.1 平衡二叉树的调整​​

• ​​RR旋转​​
• ​​LL旋转​​
• ​​LR旋转​​
• ​​RL旋转​​

• ​​2.2 完整代码​​

1.二叉搜索树

1.1 二叉搜索树的查找操作：Find

1.1.1 递归查找

1.1.2 非递归查找

1.13 查找最大和最小元素

查找最小元素的递归函数

查找最大元素的迭代函数

1.2 二叉搜索树的插入

1.2.1 插入算法

1.3 二叉搜索树的删除

情况一：要删除的是叶结点：直接删除，并再修改其父结点指针

方法：如果是在其父节点的左边，就把父结点的left设置为NULL，如果是在其父结点的右边，就把父结点的right设置为NULL

情况二：要删除的结点只有一个孩子结点

方法：将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点

情况三：要删除的结点有左、右两棵子树

方法：用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素 或者 左子树的最大元素

取右子树中的最小元素替代

取左子树中的最大元素替代

1.3.1 删除算法

思考题

1、已知一棵由1、2、3、4、5、6、7共7个结点组成的二叉搜索树（查找树），其结构如图所示，问：根结点是什么？

解析：右子树有2个数据大于根节点，左子树有4个数据大于根节点，故根节点为5

答案

2、在上题的搜索树中删除结点1，那么删除后该搜索树的后序遍历结果是：

答案：243765

3、若一搜索树（查找树）是一个有n个结点的完全二叉树，则该树的最大值一定在叶结点上？

解析：错误！

如果是满二叉树，就是对的。

如果只是完全二叉树，比如下面这种情况，最大值不在叶结点上

4、若一搜索树（查找树）是一个有n个结点的完全二叉树，则该树的最小值一定在叶结点上？

解析：正确！

如上图所示，最小值一定在最左边，而完全二叉树的最左边一定是叶节点。

1.4 完整代码

BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X )
{
    if( !BST ){ /* 若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树 */
        BST = (BinTree)malloc(sizeof(struct TNode));
        BST->Data = X;
        BST->Left = BST->Right = NULL;
    }
    else { /* 开始找要插入元素的位置 */
        if( X < BST->Data )
            BST->Left = Insert( BST->Left, X );   /*递归插入左子树*/
        else  if( X > BST->Data )
            BST->Right = Insert( BST->Right, X ); /*递归插入右子树*/
        /* else X已经存在，什么都不做 */
    }
    return BST;
}

BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X ) 
{ 
    Position Tmp; 

    if( !BST ) 
        printf("要删除的元素未找到"); 
    else {
        if( X < BST->Data ) 
            BST->Left = Delete( BST->Left, X );   /* 从左子树递归删除 */
        else if( X > BST->Data ) 
            BST->Right = Delete( BST->Right, X ); /* 从右子树递归删除 */
        else { /* BST就是要删除的结点 */
            /* 如果被删除结点有左右两个子结点 */ 
            if( BST->Left && BST->Right ) {
                /* 从右子树中找最小的元素填充删除结点 */
                Tmp = FindMin( BST->Right );
                BST->Data = Tmp->Data;
                /* 从右子树中删除最小元素 */
                BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data );
            }
            else { /* 被删除结点有一个或无子结点 */
                Tmp = BST; 
                if( !BST->Left )       /* 只有右孩子或无子结点 */
                    BST = BST->Right; 
                else                   /* 只有左孩子 */
                    BST = BST->Left;
                free( Tmp );
            }
        }
    }
    return BST;
}

2.平衡二叉树

2.1 平衡二叉树的调整

RR旋转

LL旋转

LR旋转

RL旋转

思考题

1、画画看，至少需要多少个结点才能构造出一棵4层（h=3)的平衡二叉树？

解析：7个结点

2、将1、2、3、4、5、6顺序插入初始为空的AVL树中，当完成这6个元素的插入后，该AVL树共有多少层？

解析：3层

3、若一AVL树的结点数是21，则该树的高度至多是多少？注：只有一个根节点的树高度为0

解析：nh = nh-1 + nh-2

可知，21个结点也就只能构成最高5层的平衡搜索树。

2.2 完整代码

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{
    ElementType Data; /* 结点数据 */
    AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
    AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
    int Height;       /* 树高 */
};

int Max ( int a, int b )
{
    return a > b ? a : b;
}

AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B */
  /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     

    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;
    B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;
 
    return B;
}

AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
  /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
    
    /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
    return SingleLeftRotation(A);
}

/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/

AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
    if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    } /* if (插入空树) 结束 */

    else if ( X < T->Data ) {
        /* 插入T的左子树 */
        T->Left = Insert( T->Left, X);
        /* 如果需要左旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )
            if ( X < T->Left->Data ) 
               T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
            else 
               T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
    } /* else if (插入左子树) 结束 */
    
    else if ( X > T->Data ) {
        /* 插入T的右子树 */
        T->Right = Insert( T->Right, X );
        /* 如果需要右旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )
            if ( X > T->Right->Data ) 
               T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
            else 
               T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
    } /* else if (插入右子树) 结束 */

    /* else X == T->Data，无须插入 */

    /* 别忘了更新树高 */
    T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;
    
    return T;
}