本博文涉及到的题目大多是从初三到高一阶段的高频易错题目，其解析准确，过程详实。
前言
注意运算法则的正确理解和运用，运算的顺序的合理性，运算结果的准确性；
\(\begin{array}{l}解析:原式&= \\&= \\ &=\end{array}\)
典例剖析
计算: \(\left(-\cfrac{1}{2}\right)^0+\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-1}\times \cfrac{2}{\sqrt{3}}-\left|\tan 45^{\circ}-\sqrt{3}\right|\) [1]
\(\begin{array}{l}解析：原式&=1+3\times\cfrac{2}{\sqrt{3}}-|1-\sqrt{3}|\\&=1+2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)\\
&=\sqrt{3}+2\end{array}\)
计算: \(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2}+(\sqrt{2010}-\sqrt{2012})^0+(-1)^{1001}+(\sqrt{12}-3\sqrt{3})\times\tan 30^{\circ}\)。[2]
\(\begin{array}{l}解析：原式&=9+1+(-1)+(-\sqrt{3})\times\cfrac{\sqrt{3}}{3} \\&=9-1\\
&=8\end{array}\)
计算: \(\sqrt{18}-\left(\cos 60^{\circ}\right)^{-1}\div 2^{-1}-4 \sqrt{\sin 30^{\circ}}+(\sqrt{2}-2)^0\) 。[3]
\(\begin{array}{l}解析：原式&=3\sqrt{2}-(\cfrac{1}{2})^{-1}\div{\cfrac{1}{2}}-4\sqrt{\cfrac{1}{2}}+1 \\&=3\sqrt{2}-2\times2-2\sqrt{2}+1 \\
&=\sqrt{2}-3\end{array}\)
解不等式组: \(\left\{\begin{array}{l}5 x+7>3(x+1)① \\ \cfrac{1}{2} x-1 \leq 1-\cfrac{3}{2} x②\end{array}\right.\)
解方程: \(\cfrac{3 x}{x+2}+\cfrac{2}{x-2}=3\)
先化简, 再求值: \(\cfrac{x^2-2 x}{x^2-1} \div\left(x-1-\cfrac{2 x-1}{x+1}\right)\)， 其中 \(x=\cfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{\cfrac{1}{9}}\) 的算术平方根是__________， \(2^3\)
解析：由于 \(\sqrt{\cfrac{1}{9}}=\sqrt{\cfrac{1}{3^2}}=\cfrac{1}{3}\)，故 \(\sqrt{\cfrac{1}{3}}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，故\(\sqrt{\cfrac{1}{9}}\) 的算术平方根是 \(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
\(2^3\) 的平方根即\(\pm\sqrt{2^3}\)，故 \(2^3\) 的平方根是 \(\pm 2\sqrt{2}\)；
\(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}\) 的值是____________， 将 \(\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}\)
解析： 由于 \(\sqrt{a^2}=|a|\)，故 \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\)，此处容易将结果错误的写成 \(\sqrt{3}-2\) ，错因是没有正确使用绝对值。
\(\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\cfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\sqrt{3}+1\) ，故 \(\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}\) 分母有理化的值是 \(\sqrt{3}+1\)
进一步说明，由于\((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=2\) ，故 \(\sqrt{3}+1\) 和 \(\sqrt{3}-1\) 互为有理化因式；请注意对于含有根式结构的分式而言，分母有理化和分子有理化都会用到。
\(\left(\quad\quad-\cfrac{1}{3} y\right)^2=\cfrac{9}{4} x^2-xy+ \qquad ；(\qquad)^2=\cfrac{9}{16}a^2-6ab+\)__________.
如果 \(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)， 则 \(x+y=\)_____________.
解析： 由 \(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)，将常数 \(10\) 拆分配方得到， \((x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=0\)，即 \((x-1)^2+(y+3)^2=0\)，故 \(x=1\)，\(y=-3\)，则有 \(x+y=-2\)。 引申参阅
计算若 \(x^3y^{m-1}\cdot x^{m+n}y^{2n+2}=x^9y^9\), 则 \(4m-3n\)
$A.8$ $B.9$ $C.10$ $D.无法确定$
计算 \(2^{2009}-2^{2008}\) 等于 \((\quad)\)
$A.2^{2008}$ $B.2$ $C.1$ $D.-2^{2009}$
解析： \(2^{2009}-2^{2008}=2^{2008}\cdot 2-2^{2008}=2^{2008}(2-1)=2^{2008}\) ，故选 \(A\) ，请注意提取公因式 \(2^{2008}\)；
设集 \(I=\{0,1,2,3,4\}\)， 集合 \(A=\{0,1,2,3\}\)， 集合 \(B=\{2,3,4\}\)， 则 \((C_IA)\cup(C_IB)=\quad(\quad)\)
$A.\{0\}$ $B.\{0,1\}$ $C.\{0,1,4\}$ $D.\{0,1,2,3,4\}$
计算 (1). \(\cfrac{1}{\sqrt{2}+1}-\cfrac{1}{\sqrt{2}-1}\);
(2). \(\left(2a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}\right)\left(-6 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}\right) \div\left(-3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}\right)\)
(3). \(\cfrac{a^2}{\sqrt[4]{a^3} \sqrt{a}}\)
(4). \(\sqrt[3]{a^{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{a^{-3}}} \div \sqrt{\sqrt[3]{a^{-7}} \cdot \sqrt[3]{a^{13}}}(a \neq 0)\);
(5). \(2(\lg \sqrt{2})^2+\lg \sqrt{2} \cdot \lg 5+\sqrt{(\lg \sqrt{2})^2-\lg 2+1}\);
(6). \(2 \log _3 2-\log _3 \frac{32}{9}+\log _3 8-3^{2+\log _5 5}\);
(7). \(\lg ^2 2 \cdot \lg 250+\lg ^2 5 \cdot \lg 40\)
已知 \(\mathrm{A}\) 、 \(\mathrm{B}\) 、 \(\mathrm{C}\) 的坐标分别为 \(\mathrm{A}(4,0)\)， \(\mathrm{B}(0,4)\)， \(C(3\cos\alpha, 3\sin \alpha)\).
(1) 若 \(\alpha \in(-\pi, 0)\) 且 \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|\)，求角 \(\alpha\)
(2) 若 \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)， 求 \(\cfrac{2\sin^2\alpha+\sin2\alpha}{1+\tan\alpha}\)
已知向量\(\vec{m}=(\cos \theta, \sin \theta)\) 和 \(\vec{n}=(\sqrt{2}-\sin \theta, \cos \theta)\), \(\theta \in[\pi, 2 \pi]\),\(|\vec{m}+\vec{n}|\)
1. 〖运算法则说明〗①由于运算法则说， \(a^0=1(a\neq0)\) ，故 \(\left(-\cfrac{1}{2}\right)^0=1\) ，当我们学习了指数式或者对数式后，还可以这样考察，\((2^3)^0=1\)，\((\log_{2}{3})^0=1\) ，同样等学习了定积分知识后，还可以这样考察：\((\displaystyle\int_{1}^2\;x^2\;dx)^0=1\)；
②由于运算法则说， \(a^{-1}=\cfrac{1}{a^1}\)，所以 \(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-1}=3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)，
③由于运算法则说，\(|a|=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{array}\right.\)，[注意理解字母 \(a\) 的内涵，其可以是代数式] 故在运算 \(\left|\tan 45^{\circ}-\sqrt{3}\right|=|1-\sqrt{3}|\) 时，需要去掉绝对值符号，要判断 \(1-\sqrt{3}\) 的正负， \(1-\sqrt{3}<0\)，故 \(|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\) ↩︎2. 〖运算法则说明〗① 由指数幂的运算法则 \((a^m)^n=a^{mn}\) 可知，\(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2}=(3^{-1})^{-2}=3^{(-1)\times(-2)}=3^2=9\)，或者 \(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2}=\cfrac{1}{(\cfrac{1}{3})^{2}}=9\)；\((\sqrt{2010}-\sqrt{2012})^0=1\)，原因如上。
②由指数幂的运算法则 \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\) 和 \(a^{-1}=\cfrac{1}{a}\) 可知， \((-1)^{1001}=(-1)^{1000}\times(-1)^{1}=-1\)；
③ \(\sqrt{12}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-\sqrt{3}\)，涉及根式的化简以及合并同类项； ↩︎3. 〖运算法则说明〗① 当运算进行到 \((\cfrac{1}{2})^{-1}\div 2^{-1}\) 这一步时，应该先计算\((\cfrac{1}{2})^{-1}\) 和 \(2^{-1}\)[指数幂的运算属于三级运算] ，再计算除法运算[乘除运算是二级运算]；
② \((\sqrt{2}-2)^0=1\)；\(4\sqrt{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{4^2\times\cfrac{1}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，
③ 或者这样计算：\(4\sqrt{\cfrac{1}{2}}=4\times\cfrac{1}{\sqrt{2}}=4\times\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)； ↩︎
