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tarjan算法介绍
如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
图1中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
Tarjan算法是用来求有向图的强连通分量的。求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法演示:
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图2中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
一、tarjan算法求强连通分量
代码:
void tarjan(int u){
//求强连通分量
dfn[u]=low[u]=++cnt;
sk.push(u);
instack[u]=1;
for(auto v:G[u]){
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(instack[v])
low[u]=min(low[u],dfn[v]);//求强连通分量时可以写成low[u]=min(low[u],low[v]);,但求割点时不行
}
if(low[u]==dfn[u]){
++Bcnt;//Bcnt为每个强连通分量的编号
int x;
do{
x=sk.top();
scc[x]=Bcnt;
instack[x]=0;
sk.pop();
}while(u!=x);
}
}
二、tarjan缩点
求出强连通分量后，以每个分量的scc编号为缩点后的顶点编号建立新图
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<unordered_map>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<cmath>
#include<bitset>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define bug(a) cout<<"* "<<a<<endl;
#define bugg(a,b) cout<<"* "<<a<<" "<<b<<endl;
#define buggg(a,b,c) cout<<"* "<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
const int N=1e5+10;
const ll mod=1e9+7;
int dfn[N],low[N],scc[N],cnt,Bcnt;
bool instack[N],vis[N];
int w[N],n,m,ans;
stack<int> sk;
vector<int> G[N],dag[N];//dag用于存储缩点后新图的边
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++cnt;
sk.push(u);
instack[u]=1;
for(auto v:G[u]){
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(instack[v])
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u]){
++Bcnt;//Bcnt为每个强连通分量的编号
int x;
do{
x=sk.top();
scc[x]=Bcnt;
instack[x]=0;
sk.pop();
}while(u!=x);
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){ //如果i节点没有遍历过,
tarjan(i);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){//建立新图
for(auto v:G[i]){
if(scc[v]!=scc[i]){
dag[scc[i]].push_back(scc[v]);
ind[scc[v]]++;//入度加1
}
}
}
return 0;
}
/*
6 8
1 2 3 2 1 1
4 5
5 6
6 4
1 2
2 3
3 1
6 2
4 1
*/
三、tarjan求割点、桥
求割点
u为割点应满足的条件:
(1) u为树根，且u有多于一个子树。
(2) u不为树根，且存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得dfn(u)<=low(v).也就是u的子树中的v点无法到达u之前的点，所以u点去掉就是两个连通分支，所以u为割点
代码：
void tarjan(int u){
//求割点
dfn[u]=low[u]=++cnt;
int col=0;//计数子树个数
for(auto v:G[u]){
if(!dfn[v]){
col++;
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if((u==root&&col>1)||u!=root&&low[v]>=dfn[u])
gedian[u]=1;//判断割点的两个条件
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
求桥(割边)
一条边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边(即非负边)，且满足dfn(u)<low(v)（前提是其没有重边）。
也就是，u的儿子v之间只有一条边（前提是无重边），且v点只能到u点到不了u点前，所以(u,v)边去掉就是两个连通分支，所以(u,v)为桥
注意：找桥的时候，要注意看有没有重边。有重边，则不是桥。
代码
void tarjan(int u){
//求割点
dfn[u]=low[u]=++cnt;
int col=0;//计数子树个数
for(auto v:G[u]){
if(!dfn[v]){
col++;
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(dfn[u]<low[v]&&mp[v][u]<=1&&mp[u][v]<=1)
isce[v]=1;//判断割边的条件
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);//求割点割边时不能写成low[u]=min(low[u],low[v]);
}
}
