优美的排列

题目描述：

假设有从 1 到 N 的 N 个整数，如果从这 N 个数字中成功构造出一个数组，使得数组的第 i 位 (1 <= i <= N) 满足如下两个条件中的一个，我们就称这个数组为一个优美的排列。条件：
第 i 位的数字能被 i 整除
i 能被第 i 位上的数字整除
现在给定一个整数 N，请问可以构造多少个优美的排列？

示例1:

说明:

题目分析：

1. 条件一：第 i 位的数字能被 i 整除，条件二：i 能被第 i 位上的数字整除
   • 假设数组arr索引i,则 arr[i] % i == 0 || i % arr[i] == 0,需要满足其中一个。
2. N 是一个正整数，并且不会超过15。
   • n的最大值15，小于int的32位，这代表可以使用状态压缩的方式来记录当前索引位置是否已被使用。

思路一：

代码实现：

class Solution {
    public int result;
    public boolean[] flag;
    public int countArrangement(int n) {
       result = 0;
       flag = new boolean[n + 1];
       dfs(1, n);
       return result;
    }
    public void dfs(int idx, int n) {
        if (idx > n) { // 超过最大数字n，返回。
            result++; // 
            return;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (!flag[i] && (idx % i == 0 || i % idx == 0)) {
                flag[i] = true; // 数组该索引位置已经存放了数字
                dfs(idx + 1, n); // 下一个数字
                flag[i] = false; // 删除该索引位置存放的数字
            }
        }
    }
}

思路二：

因为n的最大值只有15，因此可以使用状态压缩的方式来记录已经被使用的数组索引。

• 索引i位置是否已被使用:
  • （1 << i) & state == 0 未被使用
  • （1 << i) & state == 1 已被使用
• 标记索引i位置为使用状态:
  • （1 << i) | state
• 所有位置是否都被使用
  • state ==（1 << n) - 1

代码实现：

class Solution {
    public int result;
    public int countArrangement(int n) {
       result = 0;
       dfs(1, n, 0);
       return result;
    }
    public void dfs(int idx, int n, int state) {
        if (state == ((1 << n) - 1)) { // 数组所有位置都被使用
            result++; 
            return;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (((1 << (i - 1)) & state) == 0 && (idx % i == 0 || i % idx == 0)) {
                dfs(idx + 1, n, ((1 << (i - 1)) | state)); // 下一个数字
            }
        }
    }
}

思路三：

通过观察思路二，可以发现有很多相同场景，反复进行了遍历，可以记录下来。避免重复递归。

代码实现：

class Solution {
    public int result;
    public int[][] arr;
    public int countArrangement(int n) {
       result = 0;
       arr = new int[n + 1][1 << n];
       result = dfs(1, n, 0);
       return result;
    }
    public int dfs(int idx, int n, int state) {
        if (state == (1 << n) - 1) return 1; // 所有数字都已经被使用
        if (arr[idx][state] != 0) return arr[idx][state]; // 数组索引idx,索引使用位置状态state的情况已经遍历过，直接返回

        int temp = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (((1 << (i - 1)) & state) == 0 && (idx % i == 0 || i % idx == 0)) {
                temp += dfs(idx + 1, n, ((1 << (i - 1)) | state)); // 下一个数字
            }
        }

        arr[idx][state] = temp; // 记录索引idx,数组索引使用状态state时的数量。
        
        return temp;
    }