题目：
一个小孩上楼梯，楼梯有n阶，小孩每次可以上一阶，两阶或三阶，问一共有几种走法（约定n为0是方法数为1）。
输入在一行给出n。答案对1e9^7取模。
输出在一行给出方法数。
思路：
这是一道很经典的题目，此前也遇到过很多次，但每次回头看都会有一些不一样的想法。要解决这道题，首先肯定是从阶数较小的开始分析。
如果只有一阶楼梯，方法显然只有1种。
如果有两阶楼梯，有2种方法。一种是一次走两阶。一种是先走一阶，再走一阶。
如果有三阶楼梯，则有4种方法。一种是一次走三阶。一种是先走一阶，此时剩下两阶，而两阶的方法数已经算出是两种。还有一种是先走两阶，再走一阶。
如果有四阶楼梯，则有7种方法。一种是先走一阶剩下三阶，三阶的方法数为4种。一种是先走两阶剩两阶，两阶的方法数是2种。一种是先走三阶剩一阶，方法数为1种。所有相加就是7种。
如果有五阶楼梯也是如此，分析先走一阶剩四阶的方法数，先走两阶剩三阶的方法数，先走三阶剩两阶的方法数，最后相加即可。
简单归纳就可得出，求上n阶楼梯的方法数就是将上n-1，n-2，n-3阶楼梯的方法数相加，写成公式就是：
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)
递归代码如下，时间复杂度为O（n^3）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int recursion1(int n);
int recursion2(int n);
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << recursion2(n) << endl;
return 0;
}
int recursion1(int n) {
if(n<0) return 0;
else if(n==0 || n==1) return 1;
else if(n==2) return 2;
return recursion(n-1)%mod + recursion(n-2)%mod + recursion(n-3)%mod;
}同样的思路，用迭代的方式代码如下，时间复杂度为O（n）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int recursion2(int n);
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << recursion2(n) << endl;
return 0;
}
int recursion2(int n) {
if(n<0) return 0;
else if(n==0 || n==1) return 1;
else if(n==2) return 2;
int x1 = 1;
int x2 = 2;
int x3 = 4;
for(int i=4;i<=n;i++) {
int t = x1;
x1 = x2 % mod;
x2 = x3 % mod;
x3 = (x1+x2)%mod + t%mod;
}
return x3;
}分析从思考到产生代码的过程：
思考时是从小规模开始，我们能解决的问题顺序思考的，这与迭代的代码完全吻合，而递归则是多了一步归纳，将思路总结成递归式表达出来，单看式子，是一个逆序的过程，仿佛是从大规模开始求，（如果一开始思考是从大规模开始分析，这种思想是分治思想），显然从小规模开始更符合人脑的思考方式，而产生的两种代码，只是同一种思路不同的表现方式。
递归的代码在求解问题时并非先求解大规模问题，也是通过层层递归，先求解小规模问题，再层层返回，得出结果，而每一次递归，都会在栈中为其开辟空间，储存变量。所以从性能上分析，就本题而言，迭代是更好的解法，递归好在表达更加简洁。
