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16. 3Sum Closest 最接近的三数之和


Title

给定一个包括 n 个整数的数组 nums 和 一个目标值 target。找出 nums 中的三个整数,使得它们的和与 target 最接近。返回这三个数的和。假定每组输入只存在唯一答案。

示例:

输入:nums = [-1,2,1,-4], target = 1

输出:2

解释:与 target 最接近的和是 2 (-1 + 2 + 1 = 2) 。

提示:

3 <= nums.length <= 10​3

-10​3​ <= nums[i] <= 10​3

-10​4​ <= target <= 10​4

排序+双指针

Solve

考虑直接使用三重循环枚举三元组,找出与目标值最接近的作为答案,时间复杂度为 O(N​3​)。然而本题的 N 最大为 1000,会超出时间限制。

如何优化?

首先考虑枚举第一个元素 a,对于剩下的两个元素 b 和 c,我们希望它们的和最接近 target−a。

对于 b 和 c,如果它们在原数组中枚举的范围(既包括下标的范围,也包括元素值的范围)没有任何规律可言,那么我们还是只能使用两重循环来枚举所有的可能情况。

因此,我们可以考虑对整个数组进行升序排序,这样一来:

  • 假设数组的长度为 n,我们先枚举 a,它在数组中的位置为 i;
  • 为了防止重复枚举,我们在位置 [i+1, n) 的范围内枚举 b 和 c。

当我们知道了 b 和 c 可以枚举的下标范围,并且知道这一范围对应的数组元素是有序(升序)的,那么我们可以通过​双指针​对枚举的过程进行优化。

用 p​b​ 和 p​c​ 分别表示指向 b 和 c 的指针,初始时,p​b​ 指向位置 i+1,即左边界;p​c​ 指向位置 n-1,即右边界。

在每一步枚举的过程中,我们用 a+b+c 来更新答案,并且:

  • 如果 a+b+c>target,那么就将 p​c​向左移动一个位置;
  • 如果 a+b+c<target,那么就将 p​b​向右移动一个位置;

实际上,p​b​ 和 p​c​ 就表示了我们当前可以选择的数的范围,而每一次枚举的过程中,我们尝试边界上的两个元素,根据它们与 target 的值的关系,选择「抛弃」左边界的元素还是右边界的元素,从而减少了枚举的范围。

小优化

本题也有一些可以减少运行时间(但不会减少时间复杂度)的小优化。当我们枚举到恰好等于 target 的 a+b+c 时,可以直接返回 target 作为答案,因为不会有再比这个更接近的值了。

当我们枚举 a, b, c 中任意元素并移动指针时,可以直接将其移动到下一个与这次枚举到的不相同的元素,减少枚举的次数。

Code

class Solution:
def threeSumClosest(self, nums: List[int], target: int) -> int:
nums.sort()
length, best = len(nums), 10 ** 7

def update(cur):
"""根据差值的绝对值更新答案"""
nonlocal best
if abs(cur - target) < abs(best - target):
best = cur

# 枚举a
for i in range(length):
# 移动到下一个与这次枚举到的不相同的元素
if i > 0 and nums[i] == nums[i - 1]:
continue

# 双指针枚举b和c
j, k = i + 1, length - 1
while j < k:
s = nums[i] + nums[j] + nums[k]
if s == target:
return target
update(s)

if s > target:
# 如果和大于 target,移动 c 对应的指针
k0 = k - 1
while j < k0 and nums[k0] == nums[k]:
k0 -= 1
k = k0
else:
# 如果和小于 target,移动 b 对应的指针
j0 = j + 1
while k > j0 and nums[j0] == nums[j]:
j0 += 1
j = j0
return best

复杂度分析

时间复杂度​:O(N​2​),其中 N 是数组 nums 的长度。我们首先需要 O(NlogN) 的时间对数组进行排序,随后在枚举的过程中,使用一重循环 O(N) 枚举 a,双指针 O(N) 枚举 b 和 c,故一共是 O(N​2​)。

空间复杂度​:O(logN)。排序需要使用 O(logN) 的空间。然而我们修改了输入的数组 nums,在实际情况下不一定允许,因此也可以看成使用了一个额外的数组存储了 nums 的副本并进行排序,此时空间复杂度为 O(N)。



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