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HDU 2197 本原串 (数学+容斥)

mjjackey 2022-08-11 阅读 72


题目链接:
​​​HDU 2197​​

题意:
由0和1组成的串中,不能表示为由几个相同的较小的串连接成的串,称为本原串,有多少个长为n(n<=100000000)的本原串?
答案mod2008.
例如,100100不是本原串,因为他是由两个100组成,而1101是本原串。

题解:
我们考虑一下容斥原理,长度为n的01串的总数为2n。要求本原串,只要将01串的总数减掉非本原串就可以啦。
而非本原串可以由本原串得到。
易得,f[n]=2n−∑(f[i])−2 , 其中i是n的大于等于2的约数。
因为非本原串肯定是由长度为a的字串不断重复b次得到的,那么a必然是b的约数。减二是要除去全是0或1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-633">1</script>的情况。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=2008;
int f[10010];
typedef long long ll;
int q_mod(int a,int b)
{
int ans=1;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans=ans*a%mod;
}
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
int solve(int n)
{
if(n==1)return 2;
int ans=q_mod(2,n);
ans-=2;
ans%=mod;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i!=0)continue;
if(i*i==n)
{
ans-=solve(i);
ans%=mod;
}
else
{
ans-=solve(i);
ans-=solve(n/i);
ans%=mod;
}
}
return (ans+mod)%mod;
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
cout<<solve(n)<<endl;
}
return 0;
}


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