记录一下这段时间做题遇到的一些疑惑点，方便复习回顾。
1.如何确定 曲面积分的 曲面？
a. 据题意描述，将二次曲面（方程），或者说平面方程表示出来（在 图上，或者说 在 脑海里，有个大致的轮廓）；
b. 根据题目中，限定的截取条件，所截取的曲面部分。即为所求。
致误点： 二重积分中，截取区域时，通常包括 截取条件本身的部分，而这在曲面积分来说是不可取的。
易错点： 曲面积分，必须关注 是 所截取的曲面的哪一个方向，这对正确解题来说 是必须要过的一个步骤。
2.奇偶性（对称性） 对 积分域对称
一重积分中， 若 积分线段 关于 圆点：
当 被积函数 为 偶函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 奇函数， 则 积分为 0；
二重积分中， 若 面积区域 关于 x轴（线）对称：
当 被积函数 为 关于 y 的 偶函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 关于 y 的 奇函数， 则 积分 为 0；
理解： 这里的关于 x轴对称，即指： y的正半轴 部分的区域 与 负半轴的区域 一毛一样 ，因此，奇偶性是针对于y的！
衍生： 同理可得， 积分区域 关于 y轴对称， 则 x的奇偶性 具有相似的特征；
当积分区域，既关于x对称，又关于y对称时： 若有奇函数，则为零。 其余的情况为保险起见，可自行运算。
拓展: 轮转对称性: 若 待积分体积 关于 x=y（应该是线）斜对称，则被积分函数中，x与y可相互轮转，积分结果不变。
三重积分中， 若 体积 关于 x=0平面,或者 yOz平面 （面） 对称：
当 被积函数 为 关于 x 的 偶函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 关于 x 的 奇函数， 则 积分 为 0；
理解： 因为 x轴 充当了 x=0 这个面的一个法向量， 并且 几何体 关于 面对称。 最关键的是 ，区分x轴与 x=0这个面之间的关系，因此，奇偶性 是针对与 x 来说的。
衍生： 同理可得，对于, y=0这个面， 以及 z=0 这个面，对于具有奇偶性的被积函数，都具有各自的性质。
特别地， 当待积分体积，同时关于三个面对称， 则被积函数的任一维度为奇函数，则为零。 其余情况为保险起见，可 自行运算。
拓展: 轮转对称性: 若 待积分体积 关于 x=y（应该是面）斜对角对称，则被积分函数中，x与y可相互轮转，积分结果不变。 同理， x=y,y=z,x=z， 以及 x=y=z都具有类似的性质。
曲线积分中， 若 积分平面曲线弧 关于 y轴（线）对称：
A.关于长度的平面曲线积分（第一类曲线积分）：
当 被积函数 为 关于x 的 偶函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 关于x 的 奇函数， 则 积分 为 0；
理解： 参照 二重积分。 需要注意， 当平面弧 为直线时， 曲面积分退化为 一重积分。
衍生： 同理可得，对于关于 x轴对称，具有相似的特性。
B.关于坐标的平面曲线积分（第二类曲线积分）：
当 被积函数 为 关于 x 的 奇函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 关于 x 的 偶函数， 则 积分为 0
理解： 这里的曲线，从力的角度入手，具有方向性，相应的特性发生了变化。
衍生： 对于 关于y对称，也具有相应性质。
若 积分空间曲线弧 关于 y=0（面）对称：
a.关于面积的空间曲线积分（第一类曲线）：
当 被积函数 为 关于y 的 奇函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 关于y 的 偶函数， 则 积分 为 0；
理解： 参照三重积分；注意，空间弧每降一个维度，它将退化为次一级模型。
衍生： 对于 x=0面，以及 z=0面，具有相似特性；
b.关于坐标的空间曲线积分（第二类曲线）：
当 被积函数 为 关于y 的 偶函数， 则 可以 2倍处理；
当 被积函数 为 关于y 的 奇函数， 则 积分 为 0；
理解： 参照三重积分；注意，空间弧每降一个维度，它将退化为次一级模型。
衍生： 对于 x=0面，以及 z=0面，具有相似特性；
扩展： 曲线积分 具有 轮换对称性。
轮换对称性的常见性质有：被积函数 f(x,y,z) =f(x,x,x)=3f(x) ； f(x)+f(y)+f(z)=f(x,y,z)，更多属性类推。
总结： 曲线积分中，对称性质（为零还是双倍） 按照 第一类，与 第二类曲面的分布；
对称表达式（关于哪个参照系），服从 平面直接坐标的积分的性质。
曲面积分中，若 平面曲面 关于 x=0轴 （面） 对称：
a.第一类曲面积分： 同 第一类 空间弧曲线积分；
b.第二类曲面积分： 同 第二类 空间弧曲线积分；
理解： 注意到，平面曲面的时候，实际上曲面积分就退化成了二重积分；
空间曲面的时候，实际上它就以 空间单位为基底参照系的。
同时，我们可以发现，曲面积分，与空间弧曲线积分有着特殊的相似性。
参考资料：
百度文库：第二类积分对称性
豆丁文档：第一类曲线积分对称性质讨论
百度文库：曲线曲面积分的对称性
3.三重积分中，先后积分各自的使用条件：
先积分的微元，其上下限必须 由 后积分微元的 函数表示；
特别地：考虑一个xOy平面图 沿着z轴 拉升的一个柱面。 此时 先积分的微元，其上下限 此时为常数；
致误点： 注意区分 三重积分的 方法 与 曲面曲线积分 在处理被积分函数 的区别。
三维曲线积分 以及 曲面积分，经常要降低 被积函数的维度,同时，积分域也需要处理，如投影；
三重积分中，是不需要处理 被积函数的，而是从积分域处理。
5.曲面积分正负（包括对高斯公式）的影响考虑因素：
理解： 需要注意，曲面积分的物理意义 是 通量； 通量是指，流体从一侧流向另一侧 的流体质量，其是一个 矢量，具有正负性； 规定： 流体从 空间曲面 内部 流向 外部，为正，反之；
流体 从 平面曲面 从下侧 流向 上侧 为正，左侧流向 右侧 为正。 即 与坐标系的正轴同性。 反之。
高斯公式中， 默认 流体 是从 封闭空间曲面内部 流向 外部。 因此 当所求空间曲面积分 为内部区域时，应取负，反之。 因此补面积时，应该使得 封闭曲面的流体 流向一致。
6.曲线积分与一重积分的联系：
理解： 积分平面曲线弧中，所代表的抽象几何体 为： 二维平面； 特别地，当平面曲线为直线时，抽象几何体 退化为 一维线条；
积分 空间曲线弧中， 所代表的 抽象几何体 为： 三维空间； 特别地，当空间曲线 为 平面曲线时，退化为 平面曲线弧积分； 依次降维 可得到 次一级 抽象几何体；
7.曲线积分 的处理方法汇总：
a.第一类平面曲线积分：
1.参数方程；
2.转化为第二类平面曲线积分（不建议）；
b.第二类平面曲线积分：
1.格林公式（注意使用条件： 单连通区域）: 平面曲线积分 转化为 二重积分；注意，具有正负性质；
2.转化为 第一类 曲线积分（不建议）；
A.第一类 空间曲线积分：
1.参数方程；
2.转化为第二类平面曲线积分（建议）；
B.第二类 空间曲线积分：
1.斯托克斯公式： 空间曲线积分 转化为 曲面积分，实际上转化为 三重积分；
8.曲面积分 的处理方法 汇总：
a.第一类 平面曲面 积分： 实际上为二重积分，或者与二重积分类似；
b.第二类 平面曲面 积分： 实际上为 二重积分，或者与二重积分类似；
A.第一类 空间曲面积分：
1.直接处理，通过 降维；
2.转化为 第二类空间曲面积分；
B.第二类 空间曲面积分：
1.直接处理，通过投影，需要注意，投影必须考虑方向性；（转化为 二重积分，不过最多要求三组）
2. 通过高斯公式；（转化为三重积分）；
3. 转化为 第一类 空间曲面积分；
总结：曲线积分也好，曲面积分也好，总是 第二类(坐标)形式 处理方法更多，更灵活。
但必须注意，第一类形式，也总是能直接做出来的。
一般不轻易考虑 转换 第一类与第二类的形式；
9.椭球在球坐标系中的积分公式：
同 球体 在 球坐标系的积分公式；
类似 圆 在极坐标系中的积分公式；
