[动态规划]DP3 跳台阶扩展问题-简单

​​DP3 跳台阶扩展问题​​

描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。

数据范围：
进阶：空间复杂度  ， 时间复杂度 

输入描述：

本题输入仅一行，即一个整数 n 

输出描述：

输出跳上 n 级台阶的跳法

示例1

输入：

3

输出：

4

示例2

输入：

1

输出：

1

题解

假设我们要爬到第n个台阶总共有f(n)种跳法。我们可以分别从1~n-1一次性的跳上来，而跳到[1,n-1]台阶分别有f(1)，f(2)...f(n-1)种跳法，所以f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1) + 1

解法一：递归解法

• 初始条件：f(0) = 0
• 递归条件：f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1) + 1

代码如下：

int solve(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    int x = 0;
    for (int i = 1;i < n;++i)
    {
        x += solve(n - i);
    }
    return x + 1;
}

解法二：动态规划

• dp数组：dp[i]表示跳到第i+1个台阶的总方法数
• 初始条件：dp[0] = 1
• 推导条件：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[0] + 1

代码如下：

int solve3(int n)
{
    std::vector<int> dp(n,0);
    int x = 0;
    for (int i = 0;i < n;++i)
    {
        for (int k = i-1;k >= 0;--k)
        {
            dp[i] = dp[i] + dp[k];
        }
        dp[i]+=1;
    }
    return dp[n-1];
}

解法三：数学公式法

根据f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1) + 1，有f(n-1) = f(n-2) + ... + f(2) + f(1) + 1，两个式子相减得到f(n) = 2*f(n-1)，而f(1) = 1，则

代码如下：

int solve3(int n)
{
    return 1 << (n-1);
}