写在前面
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历，就是按照某种特定的规则，一次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。 访问节点所做的操作要看具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其他运算的基础。
Ⅰ. BINARY TREE TRAVERSALS
0x00 概念
经常出现的一个操作是遍历树，也就是说，对树上的每个节点都精确访问一次。
完全遍历会对树中的信息产生一个线性顺序。
当遍历一棵树时，我们希望以同样的方式对待每个节点和它的子树。
假设对于树中的每个节点：
①
代表向左移动②
代表访问该节点（eg. 打印出数据字段）③
代表向右移动。
则存在 6 种可能的遍历组合：
—— 中序遍历（inorder traversal）
—— 后序遍历（postorder traversal）
—— 前序遍历（preorder traversal）
二叉树的三种遍历，与表达式的
三种形式，不乏紧密、自然的联系。
（图5.15）
0x01 中序遍历 - Inorder Traversal
void inorder(tree_pointer ptr)
/* inorder tree traversal */
{
if (ptr) {
inorder(ptr->left_child);
printf("%d", ptr->data);
inorder(ptr->right_child);
}
}
图5.15 按顺序输出：
0x02 前序遍历 - Preorder Traversal
void preorder(tree_pointer ptr)
/* preorder tree traversal */
{
if (ptr) {
printf("%d", ptr->data);
preorder(ptr->left_child);
preorder(ptr->right_child);
}
}
图5.15 按顺序输出：
0x03 后序遍历 - Postorder Traversal
void postorder(tree_pointer ptr)
/* postorder tree traversal */
{
if (ptr) {
postorder(ptr->left_child);
postorder(ptr->right_child);
printf("%d", ptr->data);
}
}
图5.15 按顺序输出：
0x04 非递归（循环）中序遍历 - Iterative Inorder Traversal
图5.16 含蓄地表现了 Program5.1 的堆叠和拆垛的过程。
一个没有动作的节点表示该节点被添加到堆栈中， - 而一个有printf动作的节点表示该节点被从堆栈中移除。 注意： - 左边的节点被堆叠起来，直到到达一个空节点， - 然后该节点被从堆叠中移除， - 该节点的右边子节点被堆叠起来
void iter_inorder(tree_pointer node)
{
int top = -1; /* initialize stack */
tree_pointer stack[MAX_STACK_SIZE];
for (; ; ) {
for (; node; node = node->left_child)
add(&top, node); /* add to stack */
node = delete(&top); /* delete from stack */
if (!node) break; /* empty stack */
printf("%d", node->data);
node = node->right_child;
}
}
🔑 iter_inorder 的分析：令
是树中结点个数。iterInorder 把每个节点入栈一次、出栈一次，所以时间复杂度为
，空间复杂度取决于树的深度，也是
。
0x05 层序遍历 - Level Order Traversal
📚 层序遍历（Level Traversal）：设二叉树的根节点所在的层数为1的情况下，从二叉树的根节点出发，首先访问第1层的树根节点，然后再从左到右访问第2层上的节点。接着是第3层的节点……以此类推，自上而下、从左向右地逐层访问树的节点。
层序遍历需要利用队列来实现遍历。
void level_order(tree_pointer ptr)
/* level order tree traversal */
{
int front = rear = 0;
tree_pointer queue[MAX_QUEUE_SIZE];
if (!ptr) return; /* empty tree */
addq(front, &rear, ptr);
for (; ; ) {
ptr = deleteq(&front, rear); /*empty list returns NULL*/
if (ptr) {
printf("%d", ptr->data);
if (ptr->left_child)
addq(front, &rear, ptr->left_child);
if (ptr->right_child)
addq(front, &rear, ptr->right_child);
}
else break;
}
}
Ⅱ. 其他二叉树操作
0x00 复制二叉树
根据二叉树的定义，以及前中后序的递归实现，可以很容易地编写其他二叉树操作的C程序。
以常用的二叉树复制操作为例，程序 5.6 中的 copy 函数为实现代码。程序结构与刚才的 postorder 很接近，它实际上是根据它的代码修改而得到的，改动很少。
[Program 5.6] 复制二叉树
tree_pointer copy(tree_pointer original)
/* this function returns a tree_pointer to an exact copy
of the original tree */
{
tree_pointer temp;
if (original) {
temp = (tree_pointer)malloc(sizeof(node));
if (IS_FULL(temp)) {
fprintf(stderr, "The memory is full\n");
exit(1);
}
temp->left_child = copy(original->left_child);
temp->right_child = copy(original->right_child);
temp->data = original->data;
return temp;
}
return NULL;
}
0x01 判断两个二叉树全等 - Testing For Equality Of Binary Trees
两个全等的二叉树定义为两者的结构相等，并且对应数据域的内容相等。
int equal(tree_pointer first, tree_pointer second)
/* function returns FALSE if the binary trees first and
second are not equal, otherwise it returns TRUE */
{
return ((!first && !second) || (first && second &&
(first->data == second->data) &&
equal(first->left_child, second->left_child) &&
equal(first->right_child, second->right_child))
}
0x03 可满足性问题（The Satisfiability Problem）
考虑由遍历
和操作符
构成的演算公式集合。
变量只有两种取值 true 和 flase。
公式满足如下条件：
（1）一个变量是一个表达式
（2）如果 x 和 y 是表达式， 则
是表达式（3）操作符的优先级从高到低为
，但括号可以改变运算顺序。这三条基本规则可以生成命题演算的所有演算公式，如 "蕴含" 可用
表示。
对于给定的公式，是否存在一个变量集合的赋值，使该公式的求值结果为 true。
[program 5.8] 求解可满足性问题的第一个程序
for (all 2n possible combinations) {
generate the next combination;
replace the variables by their values;
evaluate the expression;
if (its value is true) {
printf(<combination>);
return;
}
}
printf("No satisfiable combination\n");<Evaluating an propositional formula>
为了评为了评估一个表达式，我们可以按后序遍历树，评估子树，直到整个表达式被简化为一个单一的值。 这对应于算术表达式的后缀评估。
[program 5.8] 后序求值
void post_order_eval（tree_pointer node)
{
/* modified postorder traversal to evaluate
a propositional calculus tree */
if (node) {
post_order_eval（node->left_child);
post_order_eval（node->right_child);
switch (node->data) {
case not : node->value =
!node->right_child->value;
break;
caseand : node->value =
node->right_child->value && node->left_child->value;
break;
case or : node->value =
node->right_child->value || node->left_child->value;
break;
case true: node->value = TRUE;
break;
case false: node->value = FALSE;
}
}
}
参考资料
Fundamentals of Data Structures in C
