Manacher算法

一：背景

  给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：
  （1）s=”abcd”,最长回文长度为 1；
  （2）s=”ababa”,最长回文长度为 5；
  （3）s=”abccb”,最长回文长度为 4，即 bccb。
  以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为O(n2)，很不高效。而在1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法，也称马拉车算法，该算法可以把时间复杂度提升到O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二：算法过程分析

  由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。举个例子：​​s="abbahopxpo"​​​，转换为​​s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"​​​（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文​​abba​​​和一个奇回文​​opxpo​​​，被转换为​​#a#b#b#a#​​​和​​#o#p#x#p#o#​​​，长度都转换成了奇数。
  定义一个辅助数组​​​int p[]​​​，​​p[i]​​​表示以​​s_new[i]​​为中心的最长回文的半径，例如：

可以看出，​​p[i]-1​​​正好是原字符串中最长回文串的长度。
  Manacher算法之所以快，就快在对 p 数组的求法上有个捷径。在我们解决了奇偶回文的繁琐时，剩下的难点就是求 p 数组，按照普通思维，我们是这样求解的：求解​​​p[i]​​​，先初始化​​p[i]=1​​​，再以​​s_new[i]​​​为中心判断两边是否相等，相等就​​p[i]++​​​。这就是普通的思维，但是我们想想，能否让​​p[i]​​的初始化不是 1，让它更大点，看下图：

  设置两个变量，mx 和 id 。
  mx 代表以​​​s_new[id]​​​为中心的最长回文最右边界，也就是​​mx=id+p[id]​​​。
  假设我们现在求​​​p[i]​​​，也就是以​​s_new[i]​​​为中心的最长回文半径，如果​​i<mx​​，如上图，那么：

if (i < mx)  
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

​​2 * id -i​​​其实就是等于 j ，​​p[j]​​​表示以​​s_new[j]​​​为中心的最长回文半径，见上图，因为 i 和 j 关于 id 对称，我们利用​​p[j]​​来加快查找。

三：代码

/**
 * 
 * author 刘毅（Limer）
 * date   2017-02-25
 * mode   C++ 
 */
#include<iostream>  
#include<string.h>
#include<algorithm>  
using namespace std;

char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }

    s_new[j] = '\0';  //别忘了哦  

    return j;  //返回s_new的长度  
}

int Manacher()
{
    int len = Init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换  
    int maxLen = -1;   //最长回文长度  

    int id;
    int mx = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义
        else
            p[i] = 1;

        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'  
            p[i]++;


        if (mx < i + p[i])  //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率  
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }

        maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);
    }

    return maxLen;
}

int main()
{
    while (printf("请输入字符串：\n"))
    {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }

    return 0;
}

四：算法复杂度分析

O(n)，在进行证明之前，我们还需要更加深入地理解上述算法过程。
  定义 mx 为以​​​s_new[id]​​​为中心的最长回文最右边界，也就是​​mx=id+p[id]​​​。j 与 i 关于 id 对称，根据回文的性质，​​p[i]​​​的值基于以下三种情况得出：
  （1）j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：

上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时​​p[i]=mx-i​​​，即紫线。那么​​p[i]​​还可以更大么？答案是不可能！见下图：

假设右边新增的紫色部分是​​p[i]​​​可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故​​p[i]=mx-i​​​，不可以再增加一分。
  （2）j 回文串全部在 id 的内部，如下图：

此时​​p[i]=p[j]​​​，那么​​p[i]​​还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右边新增的红色部分是​​p[i]​​​可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故​​p[i]=p[j]​​​，也不可以再增加一分。
  （3）j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

此时​​p[i]=p[j]​​​或​​p[i]=mx-i​​​，并且​​p[i]​​还可以继续增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) 
    p[i]++;

Tworst(n)=O(n)。
  同理，我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度（最佳情况即字符串内字符各不相同）。推算得平均访问每个字符4次，即时间复杂度为：Tbest(n)=O(n)。
  综上，Manacher算法的时间复杂度为O(n)。

参考文献：
[1] Stephen__. ​​hdu3068之manacher算法+详解​​