从傅立叶级数到傅立叶变换

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• ​​傅立叶级数​​
• ​​傅立叶变换​​

写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。

傅立叶级数

学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。

设周期为的周期函数的傅立叶级数为

其中，系数和分别为：

利用欧拉公式

可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式

系数为

傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。

傅立叶变换

傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。

傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。

下面我们看一下，当周期趋于的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。

令，则

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当时，， ，和都成为连续的变量，记为。

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对应于傅立叶级数，傅立叶变换可以表示为

而相应地傅立叶逆变换可以表示为