二元一次不定方程 (exgcd)

[P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)]

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题目描述

给定不定方程

​ ax + by = c

若该方程无整数解，输出 -1。
若该方程有整数解，且有正整数解，则输出其正整数解的数量，所有正整数解中 x的最小值，所有正整数解中 y 的最小值，所有正整数解中 x 的最大值，以及所有正整数解中 y 的最大值。
若方程有整数解，但没有正整数解，你需要输出所有整数解中 x 的最小正整数值， y的最小正整数值。

正整数解即为 x,y 均为正整数的解，0 不是正整数。
整数解即为 x,y 均为整数的解。
x 的最小正整数值即所有 x 为正整数的整数解中 x的最小值，y 同理。

输入格式

第一行一个正整数 T，代表数据组数。

接下来 T 行，每行三个由空格隔开的正整数 a, b, c。

输出格式

T 行。

若该行对应的询问无整数解，一个数字 -1。
若该行对应的询问有整数解但无正整数解，包含 22 个由空格隔开的数字，依次代表整数解中，x的最小正整数值，y的最小正整数值。
否则包含 5 个由空格隔开的数字，依次代表正整数解的数量，正整数解中，x 的最小值，y 的最小值，x 的最大值，y的最大值。

题解

由线性同余方程相关定理以及裴蜀定理（贝祖定理）可知，当且仅当gcd(a,b)|c时，方程有整数解。令d = gcd(a,b),$x_0=\frac{dx}{c},y_0=\frac{dy}{c}$
$$a{x}_0+b{y}_0=d①$$
由扩展欧几里得算法可以得出方程①的一组解为$x_0,y_0$

$\to x=\frac{x_{0}c}{d},y=\frac{y_{0}c}{d}$

但是这求出的仅仅是一组特殊解，显然此实还不能够满足题目的要求。这时我们就需要将x,y进行放大和缩小。假设将x增大p,将y减小q。
$$\{\begin{array}{l}a(x+p)+b(y-q)=c\\ ax+by=c\end{array}\to p=\frac{b\ast q}{a},q=\frac{a\ast p}{b}$$
我们想要p,q为最小的正整数，那么必然有a|b*q且b|b*q,即KaTeX parse error: Got function '\min' with no arguments as subscript at position 7: (b*q)_\̲m̲i̲n̲=\frac{a*b}{gcd…
KaTeX parse error: Got function '\min' with no arguments as subscript at position 21: …in{cases} p_\̲m̲i̲n̲ ̲= \frac{b}{d}\\…
那么下面就可以对x,y进行放大缩小：

将x变为最小正整数，同时改变y的值。

令$x+kp\ge 1\to k\ge \frac{\lceil (1-x)\rceil }{p}$

那么x的最小正整数为x+=k*p,对应的y+=k*q(x为正整数时的最大整数解)

无整数解

​ 无整数解的情况上面已经特判，即c%d !=0

有正整数解

​ 正整数解的个数：$\frac{y-1}{q}+1$

​ 最小正整数解： $x,y-\frac{y-1}{q}\ast q$

​ 最大正整数解：$x+\frac{y-1}{q}\ast p,y$

无正整数解但是有整数解

​ 最小正整数解：$x,y+q\ast \frac{\lceil 1-y\rceil }{q}$

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){ //扩展欧几里得算法
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int d = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int temp = x;
	x = y;
	y = temp - a/b*y;
	return d;
}
signed main(){
	int n;
	int a,b,c,x,y;
	scanf("%lld",&n);
	while(n--){
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		int d = ex_gcd(a,b,x,y);
		if(c%d){ //无解的情况
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		x*=c/d,y*=c/d;
		int p = b/d,q = a/d;
		if(x<0)	k=ceil((1.0-x)/p);
		else	k=(1-x)/p;
		x+=k*p,y-=k*q;
		if(y>0){ //有正整数解的情况
			printf("%lld ",(y-1)/q+1);
			printf("%lld ",x);
			printf("%lld ",y-q*(y-1)/q);
			printf("%lld ",x+p*(y-1)/q);
			printf("%lld\n",y);
		}else{ //无正整数解的情况
			printf("%lld ",x);
			printf("%lld\n",y+ceil((1.0-y)/q));
		}
	}
	return 0;
}