一、问题描述
这是一道模板题，给定一个字符串A和一个字符串B，求B在A中的出现次数。A和B中的字符均为英语大写字母或者小写字母。A中不同位置出现的B可重叠。
输入格式：
输入共两行，分别是字符串A和字符串B
输出格式：
输出一个整数，表示B在A中的出现次数。
样例：
输入：
zyzyzyz
zyz
输出：
3
二、KMP算法介绍
此处参考文档为：字符串匹配的KMP算法 - 阮一峰的网络日志 (ruanyifeng.com)
看了好多篇的介绍，认为这篇讲的最清楚，放入此文供大家参考。
内容如下：
有一个字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，里面是否包含另一个字符串"ABCDABD"？许多算法可以完成这个任务，Knuth-Morris-Pratt算法（简称KMP）是最常用的之一。这个算法完成该任务不需要主串回溯，它以三个发明者命名，起头的那个K就是著名科学家Donald Knuth。
下面以该例子讲解KMP算法的具体过程。
1）
首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。
2）
因为B与A不匹配，搜索词再往后移。
3）
就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。
4）
接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。
5）
直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。
6）
这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置，重比一遍。
7）
一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。
8）
怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。
9）
已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：
因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。
10）
因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。
11）
因为空格与A不匹配，继续后移一位。
12）
逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。
13）
逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。
14）
下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。
首先，要了解两个概念："前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。
15）
"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，
16）
"部分匹配"的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，"ABCDAB"之中有两个"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。搜索词移动的时候，第一个"AB"向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个"AB"的位置。
三、KMP算法的next数组的求法（C语言实现）
1）算法描述。有两种求解方法，分别是根据前一个字符的next值求以及根据前一个字符的next值求。本文只介绍第一种。
字符串记作 p；next 数组记作 next；
约定：
下标从 1 开始算，注意，不是从 0 开始算
字符串长度 >2
1）第一个字母的 next 值置 0 （next[1] = 0），第二个字母的 next 值置 1（next[2] = 1） ；
2）从第 3 个开始，计算第 i 个位置的 next 值时，检查
p[i-1]== p[next[i-1]] ?（即这两个值是否相等）
解释：第 i 个位置的前一个位置的值（即 p[i-1]，记作 m）与以 m 的 next 值（即 next[i-1]）为下标的值（即 p[next[i-1]]，记作 n）是否相等，（看的懵懵的也没关系，后面会有例子）
若相等，则 next[i] = next[i-1] + 1
若不等，则继续往回找，检查
p[i-1]== p[next[next[i-1]]] ?
若相等，则 next[i] = next[next[i-1]] + 1
若不等，则继续往回找，直到找到下标为 1 还不等（即字符串第一个元素），直接赋值 next[i] = 1
2）举个例子方便理解上述算法的流程。
求解：
（1）对应上面第一种求法
1）初始化
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 |
2）求下标为 3 的字符的 next 值
P[3-1] = P[2] = ‘b’;
next[3-1] = next[2] = 1 ;
P[next[3-1]] = P[1] = ‘a’;
P[3-1] != P[next[3-1]] ，但是此时已经回溯到了第一个元素，
∴ 直接P[3] = 1 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 |
3）求下标为 4 的字符的 next 值
P[4-1] = P[3] = ‘a’;
next[4-1] = next[3] = 1 ;
P[next[4-1]] = P[1] = ‘a’;
P[4-1] == P[next[4-1]] ;
∴ next[4] = next[4-1] + 1 = 2 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 |
4）求下标为 5 的字符的 next 值
P[5-1] = P[4] = ‘b’;
next[5-1] = next[4] = 2 ;
P[next[5-1]] = P[2] = ‘b’;
P[5-1] == P[next[5-1]] ;
∴ next[5] = next[5-1] + 1 = 3 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 |
5）求下标为 6 的字符的 next 值
推导过程同上 => next[6] = next[6-1] + 1 = 4 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
6）求下标为 7 的字符的 next 值
P[7-1] = P[6] = ‘a’;
next[7-1] = next[6] = 4 ;
P[next[7-1]] = P[4] = ‘b’;
P[7-1] != P[next[7-1]] && 此时还未回到第一个，继续
next[next[7-1]] = next[4] = 2 ;
P[next[next[7-1]]] = P[2] = ‘b’;番外（1）
P[7-1] != P[next[next[7-1]]] && 但是此时还未回到第一个，继续
next[next[next[7-1]]] = next[2] = 1 ;
P[next[next[next[7-1]]]] = P[1] = ‘a’ ;
P[7-1] == P[next[next[next[7-1]]]] ;
∴ next[7-1] = next[next[next[7-1]]] + 1 = next[2] + 1 = 2 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 |
7）求下标为 8 的字符的 next 值
P[8-1] = P[7] = ‘a’；
next[8-1] = next[7] = 2 ;
P[next[8-1]] = P[2] = ‘b’;
P[8-1] != P[next[8-1]] ,但是还没回到第一个元素，继续
next[next[8-1]] = next[2] = 1 ;
P[next[next[8-1]]] = P[1] = ‘a’;
P[8-1] == P[next[next[8-1]]];
∴ next[8] = next[next[8-1]] + 1 = 2
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 |
8）求下标为 9 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[9] = next[9-1] + 1 = 3 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 | 3 |
9）求下标为 10 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[10] = next[10-1] + 1 = 4 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 | 3 | 4 |
10）求下标为 11 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[11] = next[11-1] + 1 = 5 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 |
11）求下标为 12 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[12] = next[12-1] + 1 = 6 ;
| P | a | b | a | b | a | a | a | b | a | b | a | a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| next | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3）算法实现。
//测试样例
//abaabcaba next -1 0 0 1 1 2 0 1 2
//ababaaababaa next -1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 5
//abaabcac next -1 0 0 1 1 2 0 1
void getNext(char p[],int next[])
{
int len = strlen(p);
next[0] = -1; //p的起始下标为0，所以这里设置为-1
int k = -1; //同上理由
int j = 0;
while(j<len-1)
{
if(k == -1 || p[k] == p[j])
{
j++;
k++;
next[j] = k;
}
else
{
k = next[k];
}
}
}四、解决问题
基于二三的理论，开始着手解决一板块中的问题。
该问题的解决有三种方法，如下。
基础方法，穷举法：从原串的各个位置开始与模式串进行比较，如若与模式串匹配则存在模式串，计数加1。但此时算法复杂度为O(len_src*len_ptn)。
改进方法1，KMP：首先利用KMP算法，得到模式串的next数组，然后利用next进行匹配，如若匹配成功，则返回原串中起始匹配位置pos，计数加1，之后从原串pos+1处再次利用next进行匹配，直到匹配失败。因为要计算模式串出现的次数，故此时算法的最坏复杂度仍为O(len_src*len_ptn)。
改进方法2，KMP：对改进方法1，时间复杂度仍然很高，究其原因是未充分利用next数组。每次匹配成功(原串匹配起始位置为pos)后下一次判断匹配起始位置(为pos+1)取用有问题，应该如同简单KMP方法一样，不要回溯原串索引位置，而是利用next数组，调整模式串的索引位置。设匹配成功时，原串索引起始位置为pos，则下次匹配判断的原串起始索引位置应为pos+len_ptn，而模式串的起始索引位置应为next[len_ptn]。
解决该问题需要使用改进方法2，此时，需要计算next[len_ptn]，所以，getNext函数修改如下。
void getNext(char p[],int next[])
{
int len = strlen(p);
next[0] = -1;
int k = -1;
int j = 0;
while(j<len) //get_next函数进行升级的点：这里不是j<len-1 而是j<len，这样能够不回溯计数
{
if(k == -1 || p[k] == p[j])
{
j++;
k++;
next[j] = k;
}
else
{
k = next[k];
}
}
}解决问题的全部代码如下（含kmp）。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int next[100];
void getNext(char ptn[],int next[])
{
int len = strlen(ptn);
next[0] = -1; //下标0处的初始化
int k = -1;
int j = 0;
while(j<len) //get_next函数进行升级的点：这里不是j<len-1 而是j<len，这样能够不回溯计数
{
if(k == -1 || ptn[k] == ptn[j])
{
j++;
k++;
next[j] = k;
}
else
{
k = next[k];
}
}
}
int kmp(char src[],char ptn[])
{
int len_src = strlen(src);
int len_ptn = strlen(ptn);
int i = 0,n = 0,k = 0; //k应该从0开始，而非-1
while(i<len_src)
{
if(k==-1||src[i]==ptn[k])
{
++i;
++k;
}
else
{
k=next[k];
}
if(k==len_ptn) //实现不回溯计数
{
n++;
k = next[k];
}
}
return n;
}
int main()
{
char src[100000],ptn[10000];
scanf("%s %s",&src,&ptn);
getNext(ptn,next);
printf("%d",kmp(src,ptn));
} 五、参考博客
(38条消息) KMP：计算模式串出现的次数_no crying out, but Striving for!-CSDN博客_利用kmp算法求子串在主串中出现的次数
(38条消息) next数组两种求法_粉刷匠-CSDN博客_next数组求法
字符串匹配的KMP算法 - 阮一峰的网络日志 (ruanyifeng.com)
