题目

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思路

对于我来说，超级大难题，完全没思路；对 $\mathsf{H}\mathsf{I}\mathsf{D}$ 来说，垃圾小水题，随便做出来。

题目初步转化一下：构建一棵类点分树，使得高度最小。如果自顶向下建树，则有结论 a n s ∈ { k ,    k + 1 } ans\in\{k,\;k{\rm+}1\} ans∈{k,k+1}，然而完全没用。也可考虑找重心的调整法——显然不行。

我又考虑 自底向上 建树。原树的叶子，在点分树上也一定是叶子。于是，与原树的叶子相邻的，是点分树的倒数第二层。但是再往上呢？我感觉，如果可以是 $1$ 那就是 $1$ 。或许可证；那么再往上呢？由于它并不形式化，我终究失败了。

本题要做的，就是 将上述思考写成定理。所以又是结论题是吧。只从上面这种形象化的描述的角度来讲，很难阐明一些东西。

定理：设 $f:V\mapsto \mathbb{N}$，即给每个点标号，满足对于任意 $f(x)=f(y)(x\ne y)$，存在 $z\in \text{path}(x,y)$ 使得 $f(z)>f(x)$，记 $v(f)=\max f(x)$，则答案为 $\min v(f)$ 。

显然任意合法解都对应这样一个 $f$ 。接下来只需要证明，这样的 $f$ 又可以反过来构造一组解，且这个解的答案不超过 $v(f)$ 。利用归纳法，一个点时显然成立；多个点时，找到 $\max f(x)$，显然这是唯一的。将其作为点分树的根，对每个连通块施加归纳，其答案不超过 $v(f^{\prime })⩽v(f)-1$，于是这个方案的答案不超过 $v(f^{\prime })+1⩽v(f)$，证毕。

然后，我们可以 贪心地递归处理。其来源，就是自底向上建树的想法，但这里我们可以给出更简洁、更形式化的证明。设 $y<f(x)$，若令 $f(x)=y$ 后 $x$ 的子树仍然是合法点分树（只考虑子树内的点时，满足定理的 $f$ 映射），设 $z$ 为 $x$ 的树上父亲，则再令 $f(z)=\max [f(z),f(x)]$ 即可得到新的合法点分树（这里的 $f(x)$ 是原映射值）。

验证该方案的合法性是容易的：跨过 $x$ 的路径，如果跨过 $z$ 就仍然合法，因为 $f(z)$ 不小于原来的 $f(x)$；不跨过 $z$ 也仍然合法，这是前提条件。不跨过 $x$ 的路径，必定仍合法。

而 $v(f)$ 不会变。所以 $f(x)$ 的取值是唯一的，就是恰好使得子树成为合法点分树的最小值。那么，在原树上 $\mathtt{d}\mathtt{f}\mathtt{s}$，存储每个子树内哪些 $f(x)$ 是需要避开的（冇更大的 $f$ 将其 “遮挡” 住）即可。考虑到 $f(x)⩽\log n$，可以状压，时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$ 。

代码

#include <cstdio> // JZM yydJUNK!!!
#include <iostream> // XJX yyds!!!
#include <algorithm> // XYX yydLONELY!!!
#include <cstring> // (the STRONG long for LONELINESS)
#include <cctype> // ZXY yydSISTER!!!
#include <vector>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
inline void getMin(int &x, const int &y){
	if(y < x) x = y;
}

const int MAXN = 100005;
struct Edge{
	int to, nxt;
	Edge() = default;
	Edge(int _t, int _n): to(_t), nxt(_n){}
};
Edge e[MAXN<<1]; int head[MAXN], cntEdge;
void addEdge(int a, int b){
	e[cntEdge] = Edge(b,head[a]), head[a] = cntEdge ++;
}

int ans;
int dfs(int x, int pre){
	int s = 0, bad = 0;
	for(int i=head[x]; ~i; i=e[i].nxt){
		if((i^1) == pre) continue;
		const int &&ch = dfs(e[i].to,i);
		bad |= s&ch, s |= ch;
	}
	int chose = bad ? 32-__builtin_clz(bad) : 0;
	chose += __builtin_ffs((s>>chose)+1)-1;
	ans = max(ans,chose); return ((s>>chose)|1)<<chose;
}

int main(){
	int n = readint();
	memset(head+1,-1,n<<2);
	for(int i=1,a,b; i!=n; ++i){
		a = readint(), b = readint();
		addEdge(a,b), addEdge(b,a);
	}
	dfs(1,-1); printf("%d\n",ans);
	return 0;
}