本博文分类阐述高考对方差的考查方式。
前言
高考中对方差的考察方式，也分几个层次。如下所述：
常见层次
- 层次一：利用公式计算方差；
- 一组数据的方差计算公式：\(x_1，x_2，\cdots，x_{n}\)的平均数为\(\bar{x}=\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{n}}{n}\)；
其方差为\(s^2=\cfrac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^2]\)；
给定一组样本数据\(2，2，4，4，4\)，求这组数据的方差。
解析：先求平均数为 \(\bar{x} =\cfrac{2+2+4+4+4}{5}=3.2\)；
则方差为\(s^2=\cfrac{1}{5}[(2-3.2)^2\times 2+(4-3.2)^2\times 3]=(2-3.2)^2\times \cfrac{2}{5}+(4-3.2)^2\times \cfrac{3}{5}\)；
- 随机变量的方差计算公式，如随机变量 \(X\) 服从贝努力分布\(X\sim B(n,p)\)，则方差 \(DX=np(1-p)\) .
【2017全国卷2理科13题高考真题】一批产品的二等品率为 \(0.02\) ，从这批产品中每次随机取一件，有放回的抽取 \(100\) 次， \(X\) 表示抽到的二等品件数，则 \(DX\) =________。
分析：本题目由于是有放回的抽取了 \(100\) 次，故应该相当于做了 \(100\) 次独立重复实验，故抽到的二等品件数应该服从二项分布，即\(X\sim B\left(100，0.02\right)\)
那么由随机变量的期望和方差公式可知\(n=100，p=0.02\)，\(EX=np=100\times 0.02=2\)，\(DX=np(1-p)=100\times0.02\times(1-0.02)=1.96\)。
- 层次二：利用性质计算方差；
- 平均数、方差、标准差的性质推广
如果一组样本数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，方差为\(s^2\)，标准差为\(s\)，
则样本数据\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)，其平均数为\(a\bar{x}+b\)，方差为\(a^2\cdot s^2\)，标准差为\(a\cdot s\)，
【2021年高三文数三轮模拟题】若样本 \(x_1+1\)， \(x_2+1\)， \(x_3+1\)， \(\cdots\)， \(x_n+1\) 的平均数为 \(10\)，方差为 \(2\)，则对于样本 \(2x_1+3\)， \(2x_2+3\)， \(2x_3+3\)， \(\cdots\)， \(2x_n+3\) ，下列结论正确的是【\(\quad\)】
$A.$平均数为 $20$，方差为 $4$ $B.$平均数为 $11$，方差为 $4$ $C.$平均数为 $21$，方差为 $8$ $D.$平均数为 $20$，方差为 $8$
解析：由于样本 \(x_1+1\)， \(x_2+1\)， \(x_3+1\)， \(\cdots\)， \(x_n+1\) 的平均数为 \(10\)，
则样本 \(x_1\)， \(x_2\)， \(x_3\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的平均数为 \(9\)，
对于样本 \(2x_1+3\)， \(2x_2+3\)， \(2x_3+3\)， \(\cdots\)， \(2x_n+3\)，
其平均数为 \(2\times 9+3=21\)，方差为 \(2^2\times 2=8\) ，故选 \(C\).
- 层次三：定性分析不计算，通过形[频率分布直方图]来判断方差的大小；
甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 \(40\) 次测试分数都在 \([50,100]\) 内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为\(s_1\)，\(s_2\)，\(s_3\)，则它们的大小关系为【 】
$A.s_1 > s_2 > s_3$ $B.s_1 > s_3 > s_2$ $C.s_3 > s_1 > s_2$ $D.s_3 > s_2 > s_1$
解析：根据给定的三个频率分布直方图知：第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；第三组数据是单峰的每个小矩形的差别较小，数字分布均匀，数据没有第一组偏离平均数多，方差比第一组数据中的方差小，比第二组数据中的方差大．综上可得 \(s_1 > s_3 > s_2\)，故选 \(B\).
