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动态规划关键要点
(1) 基本要素 + V.S. 递归
动态规划和递归类似，基本思想也是：先分解再求解子问题。但动态规划中的子问题往往不独立，如果使用递归，则将出现许多重复运行，时间复杂度往往指数级。动态规划法使用一个表来记录子问题的解，后续使用时查询即可。
因此，一个动态规划问题包含两个基本要素：
- 最优子结构：问题的解可由他的子问题的解来确定，要想达到当前状态的最优解，则子问题的解也应该是最优的，即全局最优解包含局部最优解。
- 重叠子问题：每次产生的子问题并不总是新问题。
（2）备忘录方法
备忘录方法是动态规划的变形。但与动态规划不同的是，备忘录是自顶向上的（即动态规划先求子问题，再求大问题，备忘录方法与之相反）。与动态规划相同的是，他也为每个子问题建立记录项。
二者方法优劣在于子问题重叠情况，若重叠多，则动态规划更佳，否则备忘录更佳。这是由于后者仅计算需要求解的子问题。
(3) 求解步骤
寻找最优子结构的结构特征 → 表示成子问题的最优解 → 自底向上计算出最优值 → 构造最优解
- 寻找最优子结构的性质、结构特征；
- 表示成子问题的最优解，并递归定义；
- 自底向上计算出最优值；
- 构造最优解。
另：通常可以通过观察特殊结构等，来减少使用空间。一般难点在于第一点，需要多实践摸索经验。
习题
（1）书：最长公共子序列
给定两个字符串，确定他们最长公共子序列（子序列为原序列中部分下标严格递增的序列）。
1.1 最优子结构 特征性质
我觉得对于初学者而言，这一题的难点在于如何去定义最优解，定义最优解的子问题变化。一个直接的认知是，最优子结构是根据两个字符串的长度变化而改变的，我们就可以设定两个字符串的求解位置作为两个变量。
接着，我们可以得到子结构的变化特征：
若 X = { x 1 , x 2 , . . . , x m } , Y = { y 1 , y 2 , . . . , y n } X = \{x_1,x_2, ..., x_m \}, Y=\{ y_1, y_2, ..., y_n\} X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn}，最长公共子序列 Z = { z 1 , . . . , z k } ， 则 有 ： Z=\{z_1, ..., z_k\}，则有： Z={z1,...,zk}，则有：
- 若 x m = y n x_m=y_n xm=yn，则 z k = x m = y n z_k =x_m=y_n zk=xm=yn，且 Z k − 1 Z_{k-1} Zk−1是 X m − 1 X_{m-1} Xm−1和 Y n − 1 Y_{n-1} Yn−1的最长公共子序列；
- 若 x m ≠ y n x_m≠y_n xm=yn且 z k ≠ x m z_k≠x_m zk=xm，且 Z Z Z是 X m − 1 X_{m-1} Xm−1和 Y Y Y的最长公共子序列；
- 若 x m ≠ y n x_m≠y_n xm=yn且 z k ≠ y n z_k≠y_n zk=yn，且 Z Z Z是 X X X和 Y n Y_n Yn的最长公共子序列。
因此，我们可以设定解为c[i][j]：a[1:i]与b[1:j]的最长公共子序列长度，从而有递归的两种情况：
（1）两个序列最末元相等，即为最长公共子序列的最末元，因此 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1
（2）最末元不等，则为任意去掉某一序列最末元所得最长长度，即 c[i][j] = max{c[i][j-1], c[i][j-1]}
以及递归终止情况：j=0或i=0时 c[i][j] = 0;
1.2 算法的改进
这是一个常见改进，即：求解所需子问题存在规律，可以不必存储全部子问题解答。
原本的算法使用了数组b来记录最长子序列的选择情况，从而完成求解之后可以得知解的来源；计算顺序为从上至下从左至右（或者先从左至右再从上至下）。
而在本题中，c[i][j]的值实际上只受c[i-1][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j-1]三者影响。可以直接通过c的记录情况来完成比较进行回溯，并且不必花费二维数组 mnint字节 的空间开销，只需要 2*min{m,n}*int字节 的开销。
（2）书：最大子段和
本题具有很强的推广变化，十分经典。
给定序列 { a 1 , a 2 , . . . , a n } \{ a_1, a_2, ..., a_n\} {a1,a2,...,an}，求 ∑ k = i j a k \sum_{k=i}^j a_k ∑k=ijak 的最大值。
2.1 最优子结构 特征性质
其实与前题思路类似，本质也是控制求解对象长度，并根据推导递归变化。
需要注意的是，这两题尽管都存在两端的变化，但由于题中隐含i到j必然连续，因此我们都仅设置一端的长度作为变量，即一般考虑从0至i，或从i至n-1。仅特殊情况下需要采用第二维，如背包问题，需要使用第二维代表背包容量限制。
所以，我们定义b[j]：以 j 为结束点，可得最大的子段和。显然我们可得递归关系：b[j] = max{ b[j-1] + a[j], a[j] }。（即考虑是否选取当前位置元素）
时间空间复杂度均为O(n)。
2.2 其他解法
- 普通算法：考虑对每一个开始位置找到当前位置的最大和，复杂度O(n^2)
- 递归：最大子段和要么来自左半边或右半边，要么跨越两段的一段子段；前二者由递归可得，后者由于必须包括两段最邻近的两点，因此适用普通算法，计算从该二者开始可得最大子段和。因此复杂度有：T(n) = 2 T(n/2) + O(n) ⇒ T(n) = O(nlogn)
2.3 推广问题
2.3.1 最大子矩阵和（找一个矩阵子集，和最大）：
t ( i 1 , i 2 ) = m a x 1 < = j 1 < = j 2 < = n ∑ j = j 1 j 2 b [ j ] t(i_1,i_2)=max_{1<=j_1<=j_2<=n}\sum_{j =j1}^{j_2}b[j] t(i1,i2)=max1<=j1<=j2<=nj=j1∑j2b[j]
b[j] 与之前类似：以 j 为列位置标记，第 i 1 ： i 2 i_1：i_2 i1：i2 行的元素之和
求 t(i1,i2) 的时间为O(n)，因此最终的时间复杂度为 O(m^2*n)
2.3.2 最大m子段和问题（确定m个不相交子段的最大和）：
设定子结构为 b[i][j]：前 j 个元素中，选择 i 个子段获得的最大和，子段需要选中第 j 个元素。
可得递归结构：
b
[
i
]
[
j
]
=
m
a
x
{
b
[
i
]
[
j
−
1
]
+
a
[
j
]
,
m
a
x
k
{
b
[
i
−
1
]
[
k
]
+
a
[
j
]
}
}
b[i][j] = max\{ b[i][j-1] +a[j], max_k\{b[i-1][k] + a[j] \} \}
b[i][j]=max{b[i][j−1]+a[j],maxk{b[i−1][k]+a[j]}}
最后需要对b[m]进行遍历，找到最大值。
2.3.3 leetcode153题：最优除法
给定一组正整数，相邻的整数之间将会进行浮点除法操作，通过在任意位置添加任意数目的括号，改变算数的优先级，使最终结果最大。
同样，这一题是根据添加括号的位置作为变量。需要注意的是，前后的i、j都作为了变量 。并且通过运算我们知道，这一题不仅涉及“最大”这一最优概念，实则也需要“最小"这一最优概念。
因此最终推导的递归结构如下。
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