豪斯多夫距离（Hausdorff distance）

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• ​​豪斯多夫距离（Hausdorff distance）​​

• ​​引言​​
• ​​Hausdorff距离​​

豪斯多夫距离（Hausdorff distance）

引言

当谈到距离时，我们通常指的是最短的距离：例如，如果说一个点距离多边形的距离为，我们通常假设是到的最近点的距离。

同样的逻辑也适用于两个多边形：对于两个多边形和，我们通常将它们的距离理解为的任意点和的任意点之间的最短距离。形式上，这称为minimin 函数，因为和之间的距离由下式给出：

这个等式用计算机程序表达：对于的每个点，找出它到的任何点的最小距离；最后，取其中的最小者。

这样的距离定义是有不足的：

（1）最短距离没有考虑到多边形的整个形状

考虑图1中两个三角形的最短距离，由等式1可知这两个三角形非常接近。它们的距离由它们的红色顶点决定。

但是，从图中我们可以观察到两个多边形并不相近，因为它们的最远点（以蓝色显示）实际上离另一个多边形很远。

两个多边形之间的距离很小，应该意味着一个多边形的任何一点都离另一个多边形不远。

（2）最短距离没考虑对象的位置

在图2中，有两个与图1相同的三角形，只是位置不同。根据等式1，却可以得到它们的最短距离与图1的相同。

下面，我们将介绍Hausdorff距离，它能够考虑到这些问题。

Hausdorff距离

Hausdorff距离以Felix Hausdorff（1868-1942）命名的，是一个集合到另一个集合中最近点的最大距离。更正式地说，从集合到集合的Hausdorff距离是一个maximin函数，定义为

其中和分别是集合和的点，是这些点之间的任何度量；例如欧几里得距离。

例： 给定两个点集和，求它们的Hausdorff距离

1 计算和的距离

2 保留最短的一个

3 计算和的距离

4 保留最短的一个

5 和中最大者即为Hausdorff距离：

6 我们可以得到中的任意点到部分点的距离，至多为

暴力求解法：

1.  h = 0
2.  for every point ai of A,
      2.1  shortest = Inf ;
      2.2  for every point bj of B
                    dij = d (ai , bj )
                    if dij < shortest then
                              shortest = dij
      2.3  if shortest > h then
                    h = shortest

应该注意的是，Hausdorff距离是定向的（或者说不对称的），这意味着大多数情况不等于。

例如，在上述例子中，，而。

这种不对称性是maximin函数的一个性质，而引言中minimin函数则是对称的。

Hausdorff距离的更一般定义是：

它定义了和之间的Hausdorff距离，而等式2只是从到的Hausdorff距离（也称为有向Hausdorff距离）。和有时被称为到的前向和反向Hausdorff距离。术语很多，但除非另有说明，否则在谈论Hausdorff距离时，都是指等式3。

如果集合和集合是直线或多边形，则将应用于这些直线或多边形的所有定义点，而不仅仅应用于其顶点。

回到引言中提到的最短距离的两个缺点。

（1）最短距离没有考虑到多边形整个形状

图四为以每个三角形的最远顶点为圆心，画出半径为的圆。可以看到Hausdorff距离能考虑到多边形的所有其他点。

（2）最短距离没考虑对象的位置

从图5我们看到，Hausdorff距离对位置是敏感的。位置不同，得到的距离值也不同。

参考：
​​​ http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/98/normand/main.html​​