为什么要使用线段树？

对于有一类问题，我们关心的是线段（或者区间）

最经典的线段树问题：区间染色

有一面墙，长度为 $n$ ，每次选择一段墙进行染色， $m$ 次操作后，可以看见多少种颜色？ $m$ 次操作后，可以在区间 $[i, j]$ 内看见多少种颜色？

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	使用数组实现
染色操作（更新区间）	$O (n)$
查询操作（查询区间）	$O (n)$

另一类经典问题：区间查询，查询一个区间 $[i, j]$ 的最大值，最小值，或者区间数字和

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实质：基于区间的统计查询

例如，对于某一电商网站，查询2021年注册用户中消费最高的用户？消费最小的用户？学习时间最长的用户？

	使用数组实现	使用线段树实现
更新	$O (n)$	$O (l o g n)$
查询	$O (n)$	$O (l o g n)$

将线段树抽象出来，就是解决如下问题：对于给定区间

更新：更新区间中一个元素或者一个区间的值
查询：查询一个区间 $[i, j]$ 的最大值、最小值或者区间和

什么是线段树（SegmentTree）？

线段树，也称区间树，是一种二叉搜索树，线段树的每个结点都存储了一个区间

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综上，如果区间有 $n$ 个元素，用数组表示线段树需要 $4 n$ 的空间（估计值，有冗余，如下图所示，也可考虑使用链表的方式实现不会有空间浪费），不考虑添加元素，即区间固定，使用 $4 n$ 的静态空间即可。

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创建线段树

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public class SegmentTree<E> {
    // 原始数据
    private E[] data;
    // 线段树
    private E[] tree;
    // 两个区间数据融合方式
    private Merger<E> merger;

    public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {
        this.merger = merger;
        data = (E[]) new Object[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }
		// 开辟 4n 空间
        tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
        // 采用递归创建线段树
        buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
    }
    
    /**
     * 在treeIndex的位置创建表示区间[l,r]的线段树
     * @param treeIndex 根节点
     * @param l         左边界
     * @param r         右边界
     */
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
        if(l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return ;
        }

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        int mid = l + (r - l) / 2;
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid+1, r);

        // 两个数据如何融合 取决于merge
        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }
    
    public int getSize() {
        return data.length;
    }

    public E get(int index) {
        if (index < 0 || index >= data.length) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }
        return data[index];
    }
    
    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
     * @param index
     * @return
     */
    private int leftChild(int index) {
        return 2*index+1;
    }
    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
     * @param index
     * @return
     */
    private int rightChild(int index) {
        return 2*index+2;
    }
    
    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        res.append('[');
        for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
            if (tree[i] != null) {
                res.append(tree[i]);
            } else {
                res.append("null");
            }
            if (i != tree.length - 1) {
                res.append(',');
            }
        }
        res.append(']');
        return res.toString();
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
//        SegmentTree<Integer> segmentTree = new SegmentTree<Integer>(nums, new Merger<Integer>() {
//            @Override
//            public Integer merge(Integer a, Integer b) {
//                return a + b;
//            }
//        });
        // 测试创建线段树，以求和为例
        SegmentTree<Integer> segmentTree = new SegmentTree<Integer>(nums, (a,b)->a+b);
        System.out.println(segmentTree.toString());
    }
}

/**
 * 用于线段树的具体逻辑/业务
 * @author yzze
 * @create 2020-05-10 16:01
 */
public interface Merger<E> {
    E merge(E a, E b);
}

线段树的查询

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    /**
     * 区间查询
     * 返回区间[qL, r]的值
     * @param qL
     * @param qR 
     * @return
     */
    public E query(int qL, int qR) {
        // 边界检查
        if (qL < 0 || qL >= data.length ||
                qR < 0 || qR >= data.length || qL > qR) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }
        return query(0, 0, data.length-1, qL, qR);
    }
    /**
     * 在以treeIndex为根的线段树的[l,r]范围里，搜索区间[qL,qR]的值
     * @param treeIndex
     * @param l
     * @param r
     * @param qL
     * @param qR
     * @return
     */
    private E query(int treeIndex, int l, int r, int qL, int qR) {
        if (l == qL && r == qR) {
            return tree[treeIndex];
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        if (qL >= mid+1) {
            return query(rightTreeIndex, mid+1, r, qL, qR);
        } else if (qR <= mid) {
            return query(leftTreeIndex, l, mid, qL, qR);
        }

        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, qL, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid+1, r, mid+1,qR);
        return merger.merge(leftResult, rightResult);
    }

线段树中的更新操作

    /**
     * 将Index位置的值更新为e
     * @param index
     * @param e
     */
    public void set(int index, E e) {
        if (index < 0 || index >= data.length) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }

        data[index] = e;
        set(0, 0, data.length-1, index, e);
    }
	// 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
        if(l==r) {
            tree[treeIndex] = e;
            return ;
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        if (index >= mid+1) {
            set(rightTreeIndex,mid+1, r, index, e);
        } else {
            set(leftTreeIndex,l,mid,index,e);
        }

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }