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Codeforces——Are You Safe?(凸包,点与凸包位置关系)

扬帆远航_df7c 2022-04-15 阅读 95
算法c++

原题链接:https://codeforces.com/gym/102219/problem/H

题意:给你n个点,求最小长度把这些点围起来,输出围栏上的点;然后给你m个点,判断这m个点是否在围栏内,是的话输出“unsafe!”,否则输出“safe!”。

思路:很明显的凸包问题,找出所给的点构成的凸包,然后判断点与凸包的位置关系。我用的是graham扫描法求的凸包(我发现这个方法确实很好用)。判断点与凸包的位置关系的话直接凸包的每一条边与当前点的位置关系,如果这个点在每一条边向量的左边,则在凸包内,反之在任何一条边的右边,则在凸包外。

 graham扫描法就不多介绍了,可以看之前写的博客。

判断点是否在凸包内:可以用面积判断,但是数据可能过大。

这里还是用最简单的判断方法:如果一个点在凸包内,那么这个点与凸包上相邻的两个点构成的向量的叉乘都是正数或者都是负数(如图1:CA向量与CB向量的叉乘是大于0的,与每个相邻点构成的向量的叉乘都是大于0的);

如果一个点在凸包外,那么这个点与凸包上相邻的两个点构成的向量的叉乘不都是都是正数或者不都是都是负数(如图2:CA向量叉乘CB向量小于0,而CD向量叉乘CE向量大于0)。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=50+10;
typedef long long ll;
struct Node{              //结构体用来存点的信息 
	ll x,y;
	double dis,sin_x;
}node[maxn],ans[maxn],nx[maxn];   //node存给的点,ans存最终构成凸包的点,nx存待查询的点 
int cnt=0;
int cmp(Node a,Node b){          //按照每个点的坐标排序 
	if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
	return a.x<b.x;
}
void dis(int n){       //计算每个点与原点的距离及夹角 
	for(int i=1;i<n;i++){
		node[i].dis=(double)sqrt(pow(node[i].x-node[0].x,2)+pow(node[i].y-node[0].y,2));
		node[i].sin_x=(double)(node[i].y-node[0].y)/node[i].dis;
	}
}
int cmp1(Node a,Node b){       //对角度和到原点的距离排序 
	if(a.sin_x==b.sin_x) return a.dis<b.dis;
	return a.sin_x<b.sin_x;
}
bool judge(int ni){            //判断这个点是不是凸包上的点 
	if(cnt<2) return true;
	Node a=ans[cnt-1];
	Node b=ans[cnt-2];
	Node c=node[ni];
	if((c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(b.x-a.x)*(c.y-a.y)<=0) return false;
	else return true;
}
bool judge1(int i,int j,int k){    //判断这个点是否在凸包内 
	Node a=ans[j];
	Node b=ans[k];
	Node c=nx[i];
	int hx=(a.x-c.x)*(b.y-c.y)-(b.x-c.x)*(a.y-c.y);
	if(hx<=0) return false;
	return true;
}
void solve(int k){
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	cnt=0;
	
	for(int i=0;i<n;i++) cin >> node[i].x >> node[i].y;
	for(int i=0;i<m;i++) cin >> nx[i].x >> nx[i].y;
	
	sort(node,node+n,cmp);     //对点排序,找到最左下边的那个点 
	node[0].dis=0;
	node[0].sin_x=-1;
	
	dis(n);    //计算距离和夹角 
	sort(node,node+n,cmp1);
	
	ans[cnt++]=node[0];      //前两个点一定是凸包上的点 
	ans[cnt++]=node[1];
	for(int i=2;i<n;i++){
		while(!judge(i)) cnt--;     //找这个点在凸包的位置 
		ans[cnt++]=node[i];
	}
	cout << "Case " << k << endl;
	for(int i=0;i<cnt;i++) cout << ans[i].x << " " << ans[i].y << endl;	
	cout << ans[0].x << " " << ans[0].y << endl;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int flog=0;
		cout << nx[i].x << " " << nx[i].y << " is ";
		for(int j=0;j<cnt;j++){    //凸包上的每两个点进行判断,如果有一个不满足,说明在凸包外部 
			if(j==cnt-1){
				if(!judge1(i,j,0)) flog=1;
			}
			else{
				if(!judge1(i,j,j+1)){
					flog=1;
					break;
				}
			}
		}
		if(!flog) cout << "unsafe!" << endl;
		else cout << "safe!" << endl;
	}
	cout << endl;
}
int main(){
	int t;
	cin >> t;
	for(int k=1;k<=t;k++){
		solve(k);
	}		
	return 0;
}
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