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图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包

首先我们先说下图论,一般图存储可以使用邻接矩阵,或邻接表,一般使用邻接矩阵在稠密图比较省空间。

我们来说下有向图,一般的有向图也是图,图可以分为稠密图,稀疏图,那么从意思上,稠密图就是点的边比较多,稀疏图就是边比较少的图。为什么稠密图放在矩阵比较省空间,因为邻接表在边之间存储需要多余的指针,而矩阵不需要。

下面这张图:

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接表

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接表_02

我们只说有向图,我们把有向图存在矩阵

我们先说Warshall,假如我们有一张图

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接矩阵_03

我们把这张图存储在矩阵

首先是a,a可以直接到b,那么ab就是1
接着就是b,b可以直接到c,那么bc就是1

Warshall

a

b

c

d

e

a

0

1

0

0

0

b

0

0

1

0

0

c

0

0

0

1

0

d

1

0

0

0

1

e

0

0

0

0

0

那么Warshall怎么做,他需要做个十字形,因为有个定理,

Rij=Rik∪Rkj

其中ijk都是从0到n,这里n是点个数

那么我们得到的第一个矩阵,叫做

R0


那么由第一个矩阵变化出第二个矩阵就叫

R1


然后一直到n,这里n是点个数

如何变化,其实很简单,做个十字,这里说的十字是

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_有向图_04

那么我们第一个公式就可以来

我们选择一个点

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_有向图_05

如果在十字两个都是1,那么这个点也就改为1,因为图里只有一个点可以修改,所以修改完就是

R1

接着我们把十字修改

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_有向图_06

那么发现有两个点,加粗db是上次修改的

我们可以发现ac和dc都是可以修改

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_有向图_07

那么继续修改

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接矩阵_08

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接矩阵_09

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接表_10

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接表_11

图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包_邻接表_12

修改后

Warshall

a

b

c

d

e

a

1

1

1

1

1

b

1

1

1

1

1

c

1

1

1

1

1

d

1

1

1

1

1

e

0

0

0

0

0

因为我们从a到d都是可以到达,所以都为1,因为存在d可以到e,所以所有点都可以到e,因为e本身没有到任何点,所以为0

那么Floyd是什么,其实就是把原先的矩阵1改为数字

Floyd是可以算图中任意两个点的最短路径

那么说道这,我们需要带权有向图

带权就是两个点之间的边有个权,放在矩阵就是可以相连的两个点之间的ij为权

1

Warshall

a

b

c

d

e

a

0

5

b

0

2

c

0

1

d

6

15

0

1

e

0

我们和之前Warshall一样做十字,然后判断是得到


Rij=min{Rij,Rik+Rkj}

那么这样就可以得到任意两点路径

算法复杂

O(n3)

在Warshall是判断两个都为1,修改,Floyd判断两个加起来的值比当前的小,修改

和Warshall一样全部修改就是两个点之间最短距离。

修改如果加上一个数还是


任意一个数字小于

所以只要存在数字就可以修改










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