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Cards Ext与中国邮路问题


这个题我大概永远都不会出出来了所以我就把它写在博客里吧
如果有人没题出可以拿走坑害同学

题目大意:给定一个长度为n(n≤400)的01序列,每次你可以选择一个区间[l,r],将[l,r]区间翻转(即,0变成1,1变成0),并支付al,r的代价。现在给定所有的al,r,求将整个序列变为0的最小代价

题目来源:JOI201X cards

问题转化

首先把序列差分一下,每个值异或一下后面,然后区间翻转就变成了翻转两个点

然后我们就可以建出一张无向图,每个区间变成连接两个点的一条边,边权为这个区间的翻转代价

我们令所有1为关键节点,那么显然关键节点有偶数个,不妨设为k。

我们选的区间要让所有关键节点被翻转奇数次,所有非关键节点被翻转偶数次。

问题转化成了,给出一张无向图,求这个无向图的边权和最小的生成子图,使得所有k个关键点度数为奇数,所有非关键点度数为偶数。

问题求解:

我们来证明:最优解的生成子图一定可以表示成k/2条最短路的和

显然这个生成子图里一定没有环,因此它是一座森林。任选一棵树,随便选两个叶节点x和y,将x到y在树上的路径从树上扒下来,变成x到y的最短路,答案不会变大。剩下的部分还是一个森林,我们一条一条扒下去,最后就会得到k/2条最短路。证毕。

然后做法就是,先用Floyd算法跑出任意两点间的最短路,然后带花树跑出最小权匹配,结束

时间复杂度O(n3)

本来想要出这个题的结果带花树太难写找不到地方出题,最后把这个题连算法一通打包丢给TKD让他去出51nod了……结果是啥我自然不知道了

然后我上了大学,学完了中国邮路之后,原来这个IDEA二十万年前就有了啊。。。

无向图中国邮路问题:给定一张带权无向连通图,求从起点出发经过每条边至少一次并回到原点的最短路径

问题等价于让某些边一条变多条使得图存在欧拉回路,而欧拉回路在连通图上存在的充要条件是每个点度数为偶数。于是中国邮路的边减掉原图的边,得到的就是原图的一个生成子图,使得所有原图的奇度点的度数为奇数,原图的偶度点的度数为偶数……

行了,Floyd+带花树可以上了,时间复杂度O(n3)

顺带一提,有向图上怎么做?

有向图上好做多了……

无向图是因为所有奇度点都一样所以必须上带花树这种大杀器,而有向图哪些点该加入度哪些点该加出度是知道的,费用流直接上就行了……

时间复杂度O(费用流)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">)</script>


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