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理解充分条件与必要条件


文章目录

  • ​​写在前面​​
  • ​​引入​​
  • ​​充分条件、必要条件、充要条件​​
  • ​​充分性、必要性​​
  • ​​定义​​
  • ​​“当且仅当”(if and only if)​​
  • ​​补充​​
  • ​​充分必要条件的意义​​
  • ​​找准哪个命题是“充要条件”​​

写在前面

从高中的数学开始,我们便接触了充分条件与必要条件,但是当时的学习有点浅尝辄止,导致到了大学我都没有对这两个概念有一个系统的理解。最近拜读了蓝以中教授的《高等代数简明教程(上册)第二版》一书,感觉其中对充分条件与必要条件的阐述很好,于是在此记录一下,想深入学习的朋友可以看一下这本书的第17页,是关于充分条件与必要条件的详细内容。

引入

充分条件、必要条件、充要条件

以初中平面几何中的全等三角形的判定定理1(若两个三角形的三条对应边均相等,则这两个三角形全等)为例,首先引入充分条件与必要条件。

  • 必要条件: 若已知两个三角形全等,则这两个三角形三条边对应相等 ,也就是说:两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 必要条件 。其中必要条件的含义是,若两个三角形全等,则必定需要 满足一个条件:“两三角形三边对应相等”,即只有满足了这个条件,这两个三角形全等才成立。
  • 充分条件: 若已知两三角形三边对应相等,则两三角形全等 ,也就是说:两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 充分条件 。其中充分条件的含义是,若两三角形三边对应相等,则有 充分理由 断定“这两个三角形全等”成立。
  • 充分必要条件 结合上述两部分论断,我们可以得到如下的命题:两三角形全等的 充要条件 是这两个三角形的三边对应相等。

充分性、必要性

  • 必要性: 常用箭头
  • 充分性: 常用箭头

定义

有了上面的例子,很容易得到 充分条件必要条件 等的定义:

是两个命题,并且有:成立的充要条件是成立,则:

  • 必要条件:成立则成立,即成立是成立的必要条件。
  • 充分条件:成立则成立,即成立是成立的充分条件。
  • 必要性: 代替,即“假定成立,去证明成立”(结论推条件)。
  • 充分性: 代替,即“假定成立,去证明成立”(条件推结论)。

“当且仅当”(if and only if)

有时候我们也会用到 “当且仅当” 一词来表示 充要条件 。仍使用上面所举三角形全等的例子,就可以说:两三角形全等 当且仅当 两三角形三边对应相等。也可以一般化为:成立当且仅当成立,这时:

  • 必要条件: 仅当成立时成立(成立是成立所必定需要的)。
  • 充分条件:成立时成立(成立能充分说明成立)。

补充

充分必要条件的意义

成立的充要条件是成立,说明命题相互等价的,是同一现象(事物)的不同表现形式。
也即:若成立的充要条件是成立,则得到互为充要条件

找准哪个命题是“充要条件”

实际运用中,常会出现两种十分相似的表述,但是二者仍有很大区别,即

  • 成立的充要条件是
  • 成立是成立的充要条件。

在第一种表述中,可以认为是“结论”,是“条件”;而第二种表述恰恰相反。如果在实际分析中出现了第二种表述,就不能简单地认为是必要性了,还需要找到哪个命题是“条件”,哪个命题是“结论”,然后进行进一步的分析。


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