C. Moamen and XOR (组合数学)

C. Moamen and XOR
time limit per test2 seconds
memory limit per test256 megabytes
inputstandard input
outputstandard output
Moamen and Ezzat are playing a game. They create an array a of n non-negative integers where every element is less than 2k.

Moamen wins if a1&a2&a3&…&an≥a1⊕a2⊕a3⊕…⊕an.

Here & denotes the bitwise AND operation, and ⊕ denotes the bitwise XOR operation.

Please calculate the number of winning for Moamen arrays a.

As the result may be very large, print the value modulo 1000000007 (109+7).

Input
The first line contains a single integer t (1≤t≤5)— the number of test cases.

Each test case consists of one line containing two integers n and k (1≤n≤2⋅105, 0≤k≤2⋅105).

Output
For each test case, print a single value — the number of different arrays that Moamen wins with.

Print the result modulo 1000000007 (109+7).

题解：对于异或运算的结果是0还是1，我们只需要关注1的奇偶就行，奇数个1异或结果是1，偶数个1异或结果为0（多少个0异或结果都是0）。

对于某一位，不是全1的情况，显然与运算结果是0，这时为了保证异或运算不大于与运算必须是异或运算也为0，即必须满足有偶数个1。（这里排列组合计算就行）。

但是对于n个数的每一位单独看，这一位上全1的情况需要分n的奇偶讨论，当n为奇数全1时此时与的结果是1，异或的结果也是1，这一位依然是相等的跟上面讨论的不全1的情况一样。
当n为偶数时，全1时与运算结果为1，异或运算结果为0，这时显然这一位已经大于异或了，后面的哪些位随便选就行。

PS:这题当时比赛WA了有十发了，最后才发现奇数偶数要特判。。。。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,mod=1e9+7;
int n,m;
int fact[N],infact[N];
int qmi(int a,int k){
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        k>>=1;
    }
    return res%mod;
}
 
int C(int a,int b){
    return fact[a]%mod*infact[a-b]%mod*infact[b]%mod;
}
 
void solve(){
    cin>>n>>m;
    
    int res=0;
    if(n%2){
        int sum=1;
        for(int i=0;i<=n-1;i+=2)sum=(sum+C(n,i))%mod;
        res=qmi(sum,m);
    }
    else{
        int sum=0;
        for(int i=0;i<=n-2;i+=2)sum=(sum+C(n,i))%mod;
        res=qmi(sum,m);
        
        for(int i=1;i<=m;i++)
            res=(res+qmi(sum,i-1)*qmi(2,n*(m-i)))%mod;;
    } 
    
    cout<<res<<endl;
}
 
main(){
    fact[0]=infact[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
        infact[i]=infact[i-1]*qmi(i,mod-2)%mod;
    }
    
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)solve();
}