供应链+低代码,实现数字化【共赢链】转型新策略

一、递归时间/空间分析

1.时间复杂度的分析

设$Fact(n)$的执行时间是$T(n)$。
if(n==0) return 1; 的执行时间是$O(1)$,
$Fact(n-1)$的执行时间是$T(n-1)$,
所以else return $n\ast Fact(n-1)$; 的执行时间是$O(1)+T(n-1)$。

推出：$T(n)=nC+T(0)=nC+D$，$T(n)=O(n)$

【小结论】：Fibonacci数列和Hanoi塔问题递归算法的时间复杂度均为O(2^n)。

2.空间复杂度分析

空间复杂度$S(n)=O(f(n))$，其中，$f(n)$为“递归工作栈”中工作记录的个数与问题规模 $n$ 的函数关系。

【小结论】：阶乘间题、Fibonacci数列问题、Hanoi塔问题的递归算法的空间复杂度均为O(n)。

二、KMP算法求next数组和nextval

1.next[i]

前2位一般为：0,1
i位看前i-1位最大公共部分末尾坐标+1

2.nexval[i]

前1位一般为：0
t[next[i]]位置元素是不是和t[i]一样，一样的话将t[next[i]]的nextval写在当前nextval[i]；不一样的话就将当前的next[i]里面数写在nextval[i]

三、数组存贮（选择&简答）

1.对称矩阵

2.三角矩阵

(1)上三角

(2)下三角

四、广义表—求表头/表尾/长度/深度（选择&简答）

1.取表头Head(A)

就取A的第一个元素

2.取表尾Tail(A)

就是扣掉第一个元素，留下的所有的（包含A最外面的大括号）

3.长度

就是元素的个数

4.深度

就是数左or右括号的个数

五、前/中/后/层序遍历二叉树+先后根遍历森林

1.前序/前缀表达式/波兰式

树：根左右
森林：根左到右

RADEBCFGHK

2.中序/中缀表示

树：左根右
把一个树拍扁了就是中序~

3.后序/后缀表达式/逆波兰式

树：左右根
森林：左到右根

DEABGHKFCR

六、前/后/层次+中序确定二叉树

1.前序+中序

2.后序+中序

3.层次+中序

4.拓展

①已知前序有多少种二叉树?
入栈出栈个数：$1/(n+1)C_2{n}^n$种（n为结点个数）

七、前中后序线索二叉树的构建

1.线索二叉树构建方法

Step1：写出对应的先/中/后序遍历
Step2：如果结点左孩子为空，结点左链连接序列左边的元素；如果结点右孩子为空，结点右链连接序列右边的元素；

八、树/森林与二叉树的转换

变森林/树：删右腿
变二叉树：连右兄弟

1.树→二叉树

2. 二叉树→树

3.森林转→二叉树

4.二叉树→森林

九、哈夫曼树——构造/WPL/HT初始和终结状态

十、邻接矩阵/邻接表/逆邻接表/十字链表—构建、出入度

1.邻接矩阵

①无向图

出入度：第i行or第j列非零元素的个数是顶点i的度

②有向图

出入度：第i行非零元素的个数是顶点i的出度；第j列非零元素的个数正好是顶点i的入度

2.邻接表

①无向图

info是权重

出入度：遍历“一行”

②有向图

出度：遍历“一行”
入度：遍历v的每行

3.逆邻接表

与邻接表箭头相反

4.十字链表

十字链表的画法
Step1.编号
Step2.组队：编号结点出去的箭头
Step3.连线：前同横线，后同竖线

十一、生成树—深度优先/广度优先

十二、最小生成树—Prim/Kruskal

1.普里姆 (Prim) 算法

从某点出发，找最短的边加入集合，再以集合为整体继续加入边。过程中不能出现回路！

2.克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法

直接找最小的边，过程中不能出现回路！

十三、最短路径—Dijkstra/Floyd

1.从某个源点到其余各顶点的最短路径迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

从某点出发，找最短的边加入集合，再以集合为整体继续加入边。
与Prim不同的是，Prim只用看集合相连的最短，Dijkstra还要算一算。

2.每一对顶点之间的最短路径弗洛伊德(Floyd)算法

不断基于对角线上元素画“十字”计算的过程
Step1.从第一个对角线元素开始不断画十字
Step2.十字和它∞部分对应的行列值不变
Step3.更新值（值比原来元素小才更新）与路径，取下一个对角线元素继续重复

十四、拓扑排序/逆拓扑排序

1.AOV-网

这种用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网。AOV-网是无环的有向图(DAG)

2. 拓扑排序

就是将AOV-网中所有顶点排成一个线性序列，该序列满足：若在AOV-网中由顶点Vi到顶点Vj有一条路径,则在该线性序列中的顶点Vi必定在顶点Vj之前。

拓扑排序做法
Step1.在有向图中选一个无前驱的顶点且输出它。
Step2.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
Step3.重复1.和2.直至不存在无前驱的顶点。
若此时输出的顶点数小于有向图中的顶点数，则说明有向图中存在环，否则输出的顶点序列即为一个拓扑序列。

逆拓扑排序做法
在有向图中选一个无后继的顶点且输出它。（其余和拓扑排序一样）

十五、AOE-网—事件&活动最早/最迟/时间余量/关键活动/关键路径

1. AOE-网

AOE-网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间

ve(1):事件v_1的最早发生时间
vl(1):事件v_1的最迟发生时间

早顺迟逆；早+迟-；早大迟小
说明：最早时间从源点顺着往汇点走
最迟时间从汇点逆着往源点走
最早时间顺着走的时候遇到两条道路选相加最大的
最迟时间逆着走的时候遇到两条道路选相减最小的

e(1):活动a_1的最早开始时间
l(1): 活动a_1的最迟开始时间
早=弧尾早；迟=弧头迟-权值
说明：最早时间是<x,y>弧尾事件的最早开始时间
最迟时间是<x,y>弧头事件的最迟开始时间-<x,y>的权值

2.关键路径

关键路径上的活动没有时间余量，即l(1)-e(1)=0
关键路径：路径长度最长的路径，完成工程至少需要的时间
关键路径上的活动是影响工程的关键活动

十六、顺序查找—顺序/折半/分块

1.顺序

(1)普通顺序查找
ASL成功=$((1+2+3+\cdots +n))/n=(1+n)/2$
ASL不成功=$n+1$
时间复杂度:$O(n)$

(2)有序表的顺序查找

ASL不成功=$((1+2+3+\cdots +n+n))/(n+1)=n/2+n/(n+1)$

2.折半

要求：线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列

ASL成功=

时间复杂度为:$O(log_2 n)$

3.分块

ASL成功= Lb+Lw
Lb为查找索引表确定所在块的平均查找长度，Lw为在块中查找元素的平均查找长度

十七、树表的查找—BTS/AVL/B/B+

1.二叉排序树(BTS)

(1)定义
①若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
②若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
③它的左、右子树也分别为二叉排序树。

(2)性质
中序遍历一棵二叉树时可以得到一个结点值递增的有序序列

(3)插入

插入一定是叶子结点

(4)构造

(5)删除
①删叶子，直接删
②删无左孩子/无右孩子，孩子替换要删的结点
③删有左右孩子，找中序遍历的直接前驱/后继，替换要删的结点，删去这个前驱/后继，变为①②
【说明】：反正保证二叉排序树中序遍历有序就行


(6)ASL O()

ASLa成功=(11+22+34+43)/10=2.9
ASLa不成功=(35+46)/11=3.545

若二叉排序树左右子树高度只差的绝对值不超过1(平衡二叉树),它的平均查找长度为O(log2n)。
若二叉排序树是一个只有右（左）孩子的单支树（类似于有序的单链表)，则其平均查找长度为O(n)。

2.平衡二叉树AVL

(1)定义
结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。

(2)插入
从接入的点往上找“最小不平衡子树”的根，找根在这条路径上最近的3个结点调整，调整完剩余结点按定义去放
①LR：

②LL：

③RR：

④RL：

(3)O()
时间复杂度O(log2n)

3.B-树

(1)定义
一棵m阶的B树，或为空树，是所有结点的平衡因子=0的m路平衡查找树

①树中每个结点至多有m棵子树，最多有m-1个关键字
②若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
③除根之外的所有非终端结点至少有 个子树，至少含有 个关键字；
④所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息，通常称为失败结点（失败结点并不存在，指向这些结点的指针为空。引入失败结点是为了便于分析B-树的查找性能）；

4.B+树

B+树和B-树的差异
(1)有n棵子树的结点中含有n个关键字；
(2)所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，以及指向含这些关键字记录的指针，且叶 子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接；
(3)所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。

十八、散列表—构造/冲突/查找

①散列函数和散列地址：在记录的存储位置p和其关键字key之间建立一个确定的对应关系H, 使p=H(key), 称这个对应关系H为散列函数，p为散列地址。

1.构造方法

除留余数法：假设散列表表长为m, 选择一个不大于m的数p, 用p去除关键字，除后所得余数为散列地址，即H(key) = key%p。一般情况下，可以选p为小于表长的最大质数。

2.处理冲突的方法

(1)开放地址法
$H_i=(H(key)+d_i)$
①线性探测法：d_i = l, 2, 3, …, m-1
②二次探测法：

(2)链地址法

3. 查找

查找过程中需和给定值进行比较的关键字的个数取决于三个因素：散列函数、处理冲突 的方法和散列表的装填因子a
列表的装填因子a定义为 a=表中填入的记录数/散列表的长度

十九、插入排序—直接插入/折半插入/希尔

1.直接插入排序

后面没有排好的一个一个往排好的里面丢，比较时候根排好的最后一个元素比

2.折半插入排序

后面没有排好的一个一个往排好的里面丢，比较时候根排好的中间元素比
但对于数据量不很大的排序表，折半插入排序往往能表现出很好的性能。折半插入排序仅减少了比较元素的次数约O(nlogn)，元素的移动次数并未改变，它依赖于待排序表的初始状态。

3.希尔排序

Step1.定义增量序列Dk : Dm>Dm-1>…>D1=1（互质）
Step2.对每个Dk进行Dk间隔插入排序

二十、交换排序—冒泡/快速

1.冒泡排序

从前两两对比，大的往后放

2.快速排序

二十一、选择排序—简单选择/堆排

1. 简单选择排序

遍历找小的放前面

2. 堆排序

(1)建堆（例题1）
(2)重建堆（堆排序过程）（例题1）
根与最后一个元素换位置，输出最后一个元素（也就是根），然后建堆

二十二、归并排序

两路归并就是两个两个排序，排好之后，再四个四个排，以此类推

二十三、基数排序

二十四、排序算法时间/空间/稳定性记忆

B站： BV1NL4y1t7Do

稳定性：插帽龟(插入冒泡归并)🐢，统计鸡(桶排计数基数)🐓
时间复杂度：插帽龟选择帽子插（选择冒泡插入）的时候，恩姓长老就方了（n^2），大喊“快归堆”（快速归并堆排）（logn）