算法----堆排序

首先了解一下堆：

（1）堆是一棵完全二叉树

  （2）堆又分为大顶堆和小顶堆， 任何一非叶子节点i的关键字不能小于其左右孩子的节点的关键字.

用公式表达大顶堆：key[i]>=key[2i+1]&&key[i]>=key[2i+2]

用公式表达小顶堆：key[i]=<key[2i+1]&&key[i]=<key[2i+2]

堆排序思想：

   利用大顶堆(小顶堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。

    其基本思想为(大顶堆)：

    1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无须区；

    2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R[n]; 

    3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

    操作过程如下：

     1)初始化堆：将R[1..n]构造为堆；

     2)将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为新的堆。

    因此对于堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆，其实构造初始堆事实上也是调整堆的过程，只不过构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整。

    下面举例说明：

     给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。

    首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到

20和16交换后导致16不满足堆的性质，因此需重新调整

这样就得到了初始堆。

即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就可以进行排序了。

此时3位于堆顶不满堆的性质，则需调整继续调整

 这样整个区间便已经有序了。

    从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1...n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1...n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。

/*time:2015.9.4  author:chen                                                          */
/*1.如何建立最大堆                                                                    */
/*2.把数组转换成最大堆                                                               */
/*3.把建好的堆中数据与原数组进行数据交换                                              */
/******************************************************************************/

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

void swap(int *x, int *y)
{
  int tmp = *x;
  *x = *y;
  *y = tmp;
}


//建立以root为i(即根节点为i)的最大堆，利用了递归的思想防止调整之后以largest为父节点的子树不是最大堆
void max_heapify(int a[], int i, int heapsize)
{
  int l = 2 * i;//取其左孩子的坐标
  int r = 2 * i + 1;//取其右孩子的坐标
  int largest;//临时变量，用来保存r、l、r三个节点中最大的值

  if (l <= heapsize&&a[l]>a[i])
    largest = l;
  else
    largest = i;

  if (r <= heapsize&&a[r]>a[largest])
    largest = r;

  if (largest != i)
  {
    swap(&a[i], &a[largest]);
    max_heapify(a, largest, heapsize);
  }
}

//***********************************************
//用自底向上的方法把数组转换成最大堆  
void buil_max_heap(int a[], int heapsize)
{
  for (int i = heapsize / 2; i >= 1; i--)
  {
    max_heapify(a, i, heapsize);
  }
}

//有了上面这个两个辅助功能函数就可以对数组进行堆排序了
void heap_sort(int a[], int heapsize)
{
  buil_max_heap(a, heapsize);
  for (int i = heapsize; i >= 1; i--)
  {
    swap(&a[1], &a[heapsize]);
    heapsize--;
    max_heapify(a, 1, heapsize);
  }
}

int main()
{
  //这里数组下标从1开始，数组第一个元素没有使用
  int a[] = { 0, 12, -3, 88, 52, 6, 4, 33, 2, 100, 5, 20,11};

  heap_sort(a, 12);

  for (auto i : a)
    cout << i << " ";

  cout << endl;

  return 0;
}