【刷穿 LeetCode】求「第 n 个超级丑数」的两种方式 :「优先队列」&「多路归并」-CFANZ编程社区

题目描述

这是 LeetCode 上的 313. 超级丑数 ，难度为中等。

Tag : 「优先队列」、「多路归并」

超级丑数是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。

给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个超级丑数。

题目数据保证第 n 个超级丑数在 32-bit 带符号整数范围内。

示例 1：

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]

输出：32

解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。

示例 2：

输入：n = 1, primes = [2,3,5]

输出：1

解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。

提示：

1 <= n <=
1 <= primes.length <= 100
2 <= primes[i] <= 1000
题目数据保证 primes[i] 是一个质数
primes 中的所有值都互不相同，且按递增顺序排列

基本分析

类似的题目在之前的每日一题也出现过。

本题做法与 264. 丑数 II 类似，相关题解在这里。

回到本题，根据丑数的定义，我们有如下结论：

是最小的丑数。
对于任意一个丑数，其与任意给定的质因数相乘，结果仍为丑数。

优先队列（堆）

有了基本的分析思路，一个简单的解法是使用优先队列：

起始先将最小丑数放入队列
每次从队列取出最小值，然后将所对应的丑数进行入队。
对步骤循环多次，第次出队的值即是答案。

为了防止同一丑数多次进队，我们需要使用数据结构来记录入过队列的丑数。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        Set<Long> set = new HashSet<>();
        PriorityQueue<Long> q = new PriorityQueue<>();
        q.add(1L);
        set.add(1L);
        while (n-- > 0) {
            long x = q.poll();
            if (n == 0) return (int)x;
            for (int k : primes) {
                if (!set.contains(k * x)) {
                    set.add(k * x);
                    q.add(k * x);
                }
            }
        }
        return -1; // never
    }
}

时间复杂度：令长度为，需要从优先队列（堆）中弹出个元素，每次弹出最多需要放入个元素，堆中最多有个元素。复杂度为
空间复杂度：

多路归并

从解法一中不难发现，我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来（使用「已有丑数」乘上「给定质因数」）。

因此，如果我们所有丑数的有序序列为的话，序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列（中的至少一个）覆盖（这里假设）：

由丑数 *所得的有序序列：、、、、、、...
由丑数 *所得的有序序列：、、、、、、...
由丑数 *所得的有序序列：、、、、、、...

我们令这些有序序列为，最终的丑数序列为。

如果的长度为的话，我们可以使用个指针来指向这个有序序列的当前下标。

显然，我们需要每次取个指针中值最小的一个，然后让指针后移（即将当前序列的下一个值放入堆中），不断重复这个过程，直到我们找到第个丑数。

当然，实现上，我们并不需要构造出这个有序序列。

我们可以构造一个存储三元组的小根堆，三元组信息为：

：为当前列表指针指向具体值；
：代表这是由构造出来的有序序列；
：代表丑数下标，存在关系。

起始时，我们将所有的加入优先队列（堆）中，每次从堆中取出最小元素，那么下一个该放入的元素为。

另外，由于我们每个的指针移动和的构造，都是单调递增，因此我们可以通过与当前最后一位构造的进行比较来实现去重，而无须引用常数较大的 Set 结构。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        int m = primes.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[0]-b[0]);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            q.add(new int[]{primes[i], i, 0});
        }
        int[] ans = new int[n];
        ans[0] = 1;
        for (int j = 1; j < n; ) {
            int[] poll = q.poll();
            int val = poll[0], i = poll[1], idx = poll[2];
            if (val != ans[j - 1]) ans[j++] = val;
            q.add(new int[]{ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1});
        }
        return ans[n - 1];
    }
}