【1103】Integer Factorization (DFS)

1.题目

​​https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/problems/994805364711604224​​​ 给出正整数N,K,P，求N由K个整数的分别的P次方的和的情况，如果有多种情况则选择底数和最大的方案。
举例：169 5 2
输出：159=6^ 2 + 6^ 2+6^ 2+6^ 2+5^ 2

2.思路

（1）开一个vector数组fac存0^ p ,1^ p… i ^ p.

（2）DFS：
分叉口：利用DFS对​​fac[index]​​​进行选择，有“选”与“不选”两种选择，如果不选，则把问题转化为对fac[index]进行选择；如果选择，由于每个数字可以重复选择即下一次还能选择fac[index]。
递归边界：2个return，第一个满足​​sum == N且nowK==k​​​成立时则找到一个满足条件的序列——记住为了找出多方案的最优情况，需要判断底数之和facSum是否比一个全局记录的最大底数之和maxFacSum更大，更大则更新。
第二个return是底数之和大于N或底数个数大于K就不阔能出答案了，马上return。

（3）为了让结果能够保证字典序大的序列优先被选中，让index从大到小递减来遍历，这样总是能先选中fac中较大的数。

3.代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=30;
vector<int>fac,ans,temp;//fac记录i^p
int n,k,p,maxFacSum=-1;
int pinfang(int x){
  int ans=1;
  for(int i=0;i<p;i++){
    ans*=x;
  }
  return ans;
}
//init函数预处理fac数组，注意把0也存进去
void init(){
  int i=0,temp1=0;
  while(temp1<=n){
    fac.push_back(temp1);
    temp1=pinfang(++i);
  }
}
void DFS(int index,int nowK,int sum,int facSum){
  if(sum==n&&nowK==k){//找到一个满足的序列
    if(facSum>maxFacSum){
      ans=temp;
      maxFacSum=facSum;//更新最大底数之和
    }
    return;
  }
  if(sum>n||nowK>k)
    return;//不会产生答案，直接返回
  if(index-1>=0){//fac[0]不需要选择，从大到小
    temp.push_back(index);
    DFS(index,nowK+1,sum+fac[index],facSum+index);
    temp.pop_back();
    DFS(index-1,nowK,sum,facSum);
  }
}
int main(){
   scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
   init();
   DFS(fac.size()-1,0,0,0);//从fac的最后一位开始往前搜索
   if(maxFacSum==-1)
     printf("Impossible\n");
   else{
    printf("%d = %d^%d",n,ans[0],p);
    for(int i=1;i<ans.size();i++)
      printf(" + %d^%d",ans[i],p);
   }
  system("pause");
}

4.注意

（1）多方案时判断是否更优的做法的时间复杂度最好是O（1），否则容易超时。因此必须在DFS的参数中记录当前底数之和facSum，避免在找到一组解时计算序列的底数之和。
（2）和（1）一样，不要在找到一组解时才判断vector型的temp和ans数组的字典序，而应该让index从大到小进行选择，这样fac[index]大的就会相对早地被选中。