1. 定义：

肯德尔相关系数可以测量两个随机序列的相关性，肯德尔相关系数被定义为：
$$\tau =\frac{2}{n(n-1)}\sum _{i<j}\sigma (x_i-x_j)\sigma (y_i-y_j)$$
其中，
$$\sigma (x)=\{\begin{array}{l}1,\mathrm{x}>0\\ 0,\mathrm{x}=0\\ -1,\mathrm{x}<0\end{array}$$

x，y 分别表示两个序列，肯德尔相关系数τ 的值域为-1 到 1 之间。当 τ=1时，表示两个序列具有完全一致的相关性；当 τ=-1 时，表示两个序列拥有完全相反的相关性；当 τ=0 时，表示这对序列组是不相关的，而 τ≠0 则可以认为两个序列具有一定的相关性。

2. python实现

from scipy.stats import kendalltau
import numpy as np

def sckendall(a, b):
    '''
    会与scipy源码中计算的有一定差距
    '''
    L = len(a)
    count = 0
    for i in range(L - 1):
        for j in range(i + 1, L):
            count = count + np.sign(a[i] - a[j]) * np.sign(b[i] - b[j])
    kendall_tau = count / (L * (L - 1) / 2)

    return kendall_tau

if __name__ == '__main__':

    a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
    b = [3, 7, 2, 1, 4, 8, 6, 10, 5, 9]

    kendall_tau_2, p_value = kendalltau(a, b)
    kendall_tau = sckendall(a, b)
    print(kendall_tau)
    print(kendall_tau_2)