泊松分布的基本概念

泊松分布适用于描述单位时间（空间）上随机事件发生次数，记作π（λ）或P（λ），λ是单位时间（空间）事件发生的平均次数。

分布律：
$$\pi (X=k)=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}(\lambda >0,k=0,1,2,...)$$

理解

基础知识

二项分布描述的是某一批伯努利实验^①，事件发生一定次数的概率。
假设，进行n次实验，事件发生k次，P为事件A发生的概率。
所以二项分布的分布律为：

$$P(X=k)=C_n^k\cdot P^k\cdot (1-P{)}^{n-k}$$
也就是n次实验中挑出k次，这k次A都发生了（P^k），剩余的n-k次实验，事件A都不发生（(1-P)^(n-k)）。

泊松分布推导

假设一家奶茶店每一小时能够卖出5杯奶茶，我们希望知道这家奶茶店在一小时卖出10杯奶茶的概率，要怎么办呢？

观察时间轴，我们可以看出：卖出奶茶的时间间隔不固定。
我们希望通过类似二项分布的方法来求得这个概率（我们已经有了二项分布的分布律），因此时间间隔就不能简单的设为10分钟、10秒钟这样。

这里运用极限的思想，将时间分成n份，n→∞，这里假设这n段时间中，有k段是卖出了奶茶的（卖出了k杯奶茶）。
设X = {卖出奶茶的数量}，P:每单位时间(1/n小时)卖出奶茶的概率为
λ：一小时内卖出的奶茶数量 = np

$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =C_n^k\cdot P^k\cdot (1-P{)}^{n-k}\\ & =\frac{A_n^k}{k!}\cdot P^k\cdot (1-P{)}^{n-k}\\ & =\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\cdot (\frac{\lambda }{n}{)}^k\cdot (1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}\\ & =\frac{1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!\cdot n^k}\cdot (\frac{\lambda }{n}{)}^k\cdot (1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}\\ & =\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot 1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})\cdot (1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\cdot (1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}\end{array}$$
其中设计n的有三部分：

1. 这个大家应该没有问题，n趋于无穷时减数都为0
   $$1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})=1$$

2. 这个应该也没有问题，是和1.同样的道理
   $$(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}$$

3. 这里需要用到洛必达法则
   $$\begin{array}{rl}li{m}_{n\to \infty }(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n& =e^{n\cdot ln(1-\frac{\lambda }{n})}\\ & =e^{li{m}_{n\to \infty }\frac{ln(1-\frac{\lambda }{n})}{\frac{1}{n}}}\\ 当n趋于无穷时，分子分母都为0，同时求导& =e^{li{m}_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{1-\frac{\lambda }{n}}\cdot -\lambda \cdot -\frac{1}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}}}\\ & =e^{li{m}_{n\to \infty }\frac{1}{1-\frac{\lambda }{n}}\cdot -\lambda }\\ 当n趋于无穷时：1-\frac{\lambda }{n}=1& \\ & =e^{-\lambda }\end{array}$$
   所以
   $$P(X=k{)}_{li{m}_{n\to \infty }}=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}$$
   那么1小时卖10杯奶茶的概率为
   $$P(X=10)=\frac{5^{10}\cdot e^{-5}}{10!}$$

奶茶销量对应的分布律

可见已知一小时能卖5杯奶茶的情况下，进行概率求解：

• 卖0~5杯的可能性是递增的，
• 卖6~10杯的可能性是递减的，

这也非常符合我们的直觉。

代码

import matplotlib.pyplot as plt
import math
from pylab import mpl

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 雅黑字体


def calc_factorial(n):
    factorial = [1]
    for i in range(1, n + 1):
        factorial.append(i * factorial[i - 1])
    return factorial


def get_distribution_law(l, k, factor):
    return pow(l, k) * math.exp(-1 * l) / factor[k]


x = []
y = []
factorial = calc_factorial(11)

for i in range(11):
    x.append(i)

for i in x:
    y.append(get_distribution_law(5, i, factorial))

plt.xlabel('奶茶销量')
plt.ylabel('概率')
plt.plot(x, y)

plt.show()

结论

因此在实验次数n足够大时，且P较小时，能够采用这种近似的方法。