前言

本文首先介绍了三个基本概念：马尔可夫性、马尔可夫过程和马尔可夫决策过程。接着引入贝尔曼方程，给出了值函数、状态行为函数、最优值函数、最优状态行为函数的推导公式以及它们之间的关系。

解释马尔可夫性、马尔可夫过程和马尔可夫决策过程。

马尔可夫性：当前状态可以决定未来，则认为该状态具有马尔可夫性。即如果某一状态信息蕴含了所有相关的历史信息，只要当前状态可知，所有的历史信息都不再需要。
可以用下面的状态转移概率公式来描述马尔可夫性：
在这里插入图片描述
可见状态S_t包含的信息等价于所有历史状态S₁ , S₂ , ……S_t包含的信息，状态S_t具有马尔可夫性。
例如，围棋未来的走法只和当前棋面有关，知道历史棋面信息对于当前该怎么走没有多大的帮助，则围棋的棋面是马尔可夫的。再如，直升机下一个时刻的位置信息也仅和当前时刻的位置和速度相关，因此直升机的位置也具有马尔可夫性。

马尔可夫过程：凡是具有马尔可夫性的随机过程都叫马尔可夫过程，又叫马尔可夫链。它是一个无记忆的随机过程，可以用一个元组<S,P>表示，其中S是有限数量的状态集，P是状态转移概率矩阵。

马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程（Markov Decision Process,MDP）是针对具有马尔可夫性的随机过程序贯地作出决策。即下一时间步状态s‘仅与当前当前状态s和动作a有关，而此刻之前的状态或动作不对其有任何影响。
过程：根据每个时间步观察到的状态s，从可用的行动集合中选用一个行动a，环境在a的作用下，转换至新状态s’。决策者根据新观察到的状态s‘，再做出新的决策，采取行为a’，依次反复地进行。

MDP五元组M=<S,A,P,R,γ>中，各个字母代表什么含义。

一个马尔可夫决策过程由一个五元组构成：M=<S,A,P,R,γ>。
（1）S代表环境的状态集合，指的是智能体所能获得的对决策有用的信息。A代表智能体的动作集合，它是智能体在当前强化学习任务中可以选择的动作集。
（2）A表示智能体的动作集合，是智能体在当前强化学习任务中可以选择的动作的动作集。
（3）P^a_SS’表示在当前状态s下（s∈S），经过动作a作用后（a∈A），会转移到的其他状态s’（s‘∈S）的概率。具体数学表达式如下：
在这里插入图片描述
某些时候，P与动作无关，可以写成：

（4）R是回报函数，表示在当前状态s（s∈S），采取动作a（a∈A）后，获得的回报，具有的数学表达式如下：

（5）γ是衰减系数，也叫折扣因子，γ∈[0,1]。使用折扣因子是为了在计算当前状态的累积回报时，将未来时刻的立即回报也考虑进来。这种做法符合人类的认知习惯，人类在追求眼前利益的同时，也会考虑具有不确定性的远期利益。

对于一个马尔可夫决策过程，奖赏值数量有限，请给出状态转移函数和回报函数。

状态转移函数：P^a_SS’表示在当前状态s下（s∈S），经过动作a作用后（a∈A），会转移到的其他状态s’（s‘∈S）的概率。具体数学表达式如下：
在这里插入图片描述
某些时候，P与动作无关，可以写成：

回报函数：R是回报函数，表示在当前状态s（s∈S），采取动作a（a∈A）后，获得的回报，具有的数学表达式如下：

扑克和围棋均属于MDP问题，两种游戏之间有什么本质区别？

对于扑克，博弈各方不知道其他博弈者的牌具体是什么，属于不完全信息博弈。
而对于围棋，博弈双方的所有信息都体现在棋盘上，属于完全信息博弈。

请写出贝尔曼期望方程和贝尔曼最优方程。

贝尔曼期望方程：
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通过方程可以看出值函数由两部分组成，一是该状态的即时奖励期望，另一个是下一时刻状态的价值期望，可以根据下一时刻状态的概率分布得到其期望。

贝尔曼最优方程：
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贝尔曼最优方程表达的是当前最优值函数（或最优行为值函数）和它后继最优值函数（或最优行为值函数）的关系，以及最优值函数和最优行为值函数之间的关系。
贝尔曼最优性方程是一个递归方程，可由动态规划（dynamic programming，DP）算法求解，通过求解该方程可以找到最优值函数和最优策略。
贝尔曼最优性方程是非线性的，没有固定的解决方案，只能通过一些迭代方法来解决，如价值迭代、策略迭代、Q学习、Sarsa等。