数据结构与算法（Python）第六天
排序与搜索
希尔排序
希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。
希尔排序过程
希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。
例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：
13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10
然后我们对每列进行排序：
10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45
将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：
10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45
排序之后变为：
10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94
最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）
希尔排序的分析
实现过程：
# coding:utf-8
def shell_sort(alist):
"""希尔排序"""
# 示例序列中n=9
n=len(alist)
# gap 取4 ， n//2代表取整
gap=n//2
#gap变化到0之前，插入算法执行的次数
while gap>=1:
#插入算法，与普通插入法的区别就是步长gap
for j in range(gap,n):
# j: gap,gap+1,gap+2,gap+3,.....n-1
i=j
while i>=gap:
if alist[i]<alist[i-gap]:
alist[i],alist[i-gap]=alist[i-gap],alist[i]
i-=gap
else:
break
#缩短gao步长
gap//=2
if __name__=="__main__":
li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20,3,5,99,100]
print(li)
shell_sort(li)
print(li)
运行结果：
[54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 3, 5, 99, 100]
[3, 5, 17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93, 99, 100]
Process finished with exit code 0
时间复杂度
- 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
- 最坏时间复杂度：O(n2)
- 稳定性：不稳定
快速排序
快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
步骤为：
从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
快速排序的分析
实现过程：
# coding:utf-8
def quick_sort(alist,first,last):
"""快速排序"""
# 递归的退出条件
if first>=last:
return
# 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
mid_value=alist[first]
# low为序列左边的由左向右移动的游标
low=first
# high为序列右边的由右向左移动的游标
high=last
while low<high:
#high向左移动，直到遇到小于mid_value的值
while low<high and alist[high]>=mid_value:
high-=1
# 将high指向的元素放到low的位置上
alist[low]=alist[high]
# low向右移动，直到遇到大于mid_value的值，或者low=high
while low<high and alist[low]<mid_value:
low+=1
# 将low指向的元素放到high的位置上
alist[high]=alist[low]
#从循环退出时，low=high,，此时所指位置为基准元素的正确位置
# 将基准元素放到该位置
alist[low]=mid_value
# 对基准元素左边的子序列进行快速排序
quick_sort(alist,first,low-1)
# 对基准元素右边的子序列进行快速排序
quick_sort(alist,low+1,last)
if __name__=="__main__":
li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20,3,5,99,100]
print(li)
quick_sort(li,0,len(li)-1)
print(li)
运行过程：
[54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 3, 5, 99, 100]
[3, 5, 17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93, 99, 100]
Process finished with exit code 0
时间复杂度
- 最优时间复杂度：O(nlogn)
- 最坏时间复杂度：O(n2)
- 稳定性：不稳定
从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。
在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。
归并排序
归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。
将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
归并排序的分析
实现过程
# coding:utf-8
def merge_sort(alist):
"""归并排序"""
n=len(alist)
if n<=1:
return alist
mid=n//2
# left 采用归并排序后形成的有序的新的列表
left_li = merge_sort(alist[:mid])
# right 采用归并排序后形成的有序的新的列表
right_li = merge_sort(alist[mid:])
# 将两个有序的子序列合并为一个新的整体
# merge(left,right)
left_pointer,right_pointer=0,0
result=[]
while left_pointer<len(left_li) and right_pointer<len(right_li):
if left_li[left_pointer]<=right_li[right_pointer]:
result.append(left_li[left_pointer])
left_pointer += 1
else:
result.append(right_li[right_pointer])
right_pointer+=1
result += left_li[left_pointer:]
result += right_li[right_pointer:]
return result
if __name__=="__main__":
li = [54, 26, 99, 17, 77, 31, 44, 55, 20,3,5,99,100]
print(li)
sorted_li=merge_sort(li)
print(li)
print(sorted_li)
运行结果：
[54, 26, 99, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 3, 5, 99, 100]
[54, 26, 99, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 3, 5, 99, 100]
[3, 5, 17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 99, 99, 100]
Process finished with exit code 0
时间复杂度
- 最优时间复杂度：O(nlogn)
- 最坏时间复杂度：O(nlogn)
- 稳定性：稳定
常见排序算法效率比较
搜索
搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，因为该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找
二分法查找
二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
二分法查找实现
（递归和非递归实现分别显示）
# coding:utf-8
def binary_search(alist,item):
"""二分查找,递归"""
n=len(alist)
if n>0:
mid=n//2
if alist[mid]==item:
return True
elif alist[mid]>item:
return(binary_search(alist[:mid],item))
else:
return(binary_search(alist[mid+1:],item))
else:
return False
def binary_search_2(alist,item):
"""二分查找,非递归"""
n=len(alist)
first=0
last=n-1
while first<=last:
mid = (first + last) // 2
if alist[mid]==item:
return True
elif alist[mid]>item:
last=mid-1
else:
first=mid+1
return False
if __name__=="__main__":
li=[3, 5, 17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 99, 99, 100]
print(binary_search(li,54))
print(binary_search(li,4))
print(binary_search_2(li,54))
print(binary_search_2(li,4))
运行结果：
True
False
True
False
Process finished with exit code 0
时间复杂度
- 最优时间复杂度：O(1)
- 最坏时间复杂度：O(logn)
