博弈论是算法竞赛中数学部分的一个分支，在各种acm竞赛中也经常考。

本篇博客主要有以下内容：

1.博弈论的基本概念

具有竞争或对抗性质的行为称为博弈行为。在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。博弈的本质是利益相关，而非利益冲突。

2.Nim游戏

2.1 Nim游戏的概念以及分析

给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。

我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0

2.2例题

分析： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0

理由如下：游戏进行到终点时，A1=A2....=0,此时A1 ^ A2 ^ … ^ An = 0；

若A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0，设A1 ^ A2 ^ … ^ An =x，x的二进制1的最高一位是第k位，则A1 ,A2 ， … An 中必然存在一个数Ai，Ai的第k位是一。此时Ai^x<Ai，则每次找出Ai并从Ai中拿走（Ai-Ai^x）个，就能使A1 ^ A2 ^ … ^ An = 0。若A1 ^ A2 ^ … ^ An = 0，先手无论怎么操作都不能让

A1 ^ A2 ^ … ^ An = 0，如果另一方采用最优策略，则先手必败。

此题只要判断A1 ^ A2 ^ … ^ An 是否等于0即可。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,x,t;
signed main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>x;
        t=t^x;
    }
    if(t) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

3.sg函数

3.1Mex运算

设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S

3.2Sg函数

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。

4.sg函数例题

题目分析

设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)

定理：有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a[110],f[10010],res,m,n,x;
int sg(int x)
{
    if(f[x]!=-1) return f[x];
    unordered_set<int> s;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int d=a[i];
        if(x>=d) s.insert(sg(x-d));
    }
    for(int i=0;;i++) if(!s.count(i)) return f[x]=i;
}
signed main()
{
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i];
    memset(f,-1,sizeof f);
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>x;
        res^=sg(x);
    }
    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}