让数组有序的最少交换次数

Trick : 让数组有序的最少交换次数

Problem One

记录每个位置的元素应该去的位置，会形成若干环。对于每个环，内部交换即可，交换次数即为 : 环的长度 - 1 。因为每次交换都会让一个位置有序，环的长度会减 -1。

int const N = 11000;
int n, a[N], to[N], vis[N];

void solve(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> a[i];
        to[i] = a[i];
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(vis[i]) continue ;
        int len = 0, now = i;
        while(vis[now] == false){
            vis[now] = true;
            len ++;
            now = to[now];
        }
        res += len - 1;
    }
    cout << res << '\n';
}

Problem Two

不用于 Problem One, 本题每次可以选 $4$ 个元素进行位置交换。

我们还是维护交换环，可以发现如下规律 :

对于长度为 $1$ 的交换环，不需要进行操作 ;

对于长度为 $2$ 的交换环，可以每次处理两个 ；

对于长度 $\ge 3$ 的交换环，我们每次操作可以让环的长度减 $3$，直到环的长度 $\le 4$ 时，如果长度为 $3$ 或 $4$ , 一次操作 ；长度为 $2$ 的，统一处理即可。

void solve(){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), vis(n + 1), to(n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> a[i];
        to[i] = a[i];
    }
    int res = 0, s = 0; // s : 2 环的数量
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(vis[i] || a[i] == i) continue ;
        int len = 0, now = i;
        while(vis[now] == false){
            len ++;
            vis[now] = true;
            now = to[now];
        }
        if(len % 3 == 2) len -= 2, s ++;
        else if(len % 3 == 1) len -= 4, res ++;
        res += len / 3;
    }
    cout << res + (s + 1) / 2 << '\n';
}